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Es sei ω ∈ ℂ eine komplexe Zahl mit ω2=-3 und K = {a + bω | a,b ∈ ℚ} ⊆ ℂ.

(a) Zeigen Sie, dass K ein Teilkörper von ℂ ist.

(b) Berechnen Sie das Quadrat und das multiplikative Inverse von -(1/2) + 1/2ω in K.


Es scheint mir nicht so schwierig zu sein, nur leider machen mir die komplexen Zahlen noch Probleme. Kann mir jemand zeigen, wie man das erste zeigt bzw. das zweite berechnet?

Danke im Voraus <3 !

von

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Beste Antwort

Es sei ω ∈ ℂ eine komplexe Zahl mit ω2=-3 und K = {a + bω | a,b ∈ ℚ} ⊆ ℂ.

(a) Zeigen Sie, dass K ein Teilkörper von ℂ ist.

Für "Teilkörper" musst du ja nur zeigen

abgeschlossen bzgl. *

abgeschlossen bzgl. +

Zu jedem x ∈ K ist das additive Inverse  in K

und falls x≠0 auch das multiplikative

und 1 und 0 sind drin.

etwa so: abgeschlossen bzgl. +

Seien x,y ∈ K, also gibt es a,b,c,d aus Q mit

x = a + bω  und y = c + dω

Dann ist x*y = ( a + bω) * ( c + dω )

                 = ac -3bd + bcω + adω

                          = (ac -3bd)  + (bc + ad) ω

Da Q ein Körper ist, sind die Klammern wieder

in Q, also ist x*y von der gewünschten Form,

mithin auch in Q.

Entsprechend geht:

abgeschlossen bzgl. +

Zu jedem x ∈ K ist das additive Inverse  in K

Für das multiplikative Inverse etwa so:

Sei x ∈ K, also gibt es a,baus Q mit

x = a + bω und  ( da x≠0 ) nicht beide

a und b gleich 0.

Dann ist das Inverse   xinv =1 / ( a+ bω)

erweitern mit  ( a - bω)  gibt mit 3. binomi. Formel

  ( a - bω) / ( a2 -b2ω2 ) = ( a - bω) / ( a2  +3b2 )

= a / ( a2  +3b2 )     +  ( -b / ( a2  +3b2 ω

Und die roten Terme sind wieder in Q, also alles passend.

==>   xinv  in K.

Mit dem gleichen Erweiterungstrick bekommst du auch die Lösung

für den 2. Teil von b) hin.

von 152 k

Stimmt, das ist einleuchtend! Danke dir (:

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