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Berechnen Sie unter Verwendung von ∞ ∑n=1 1/n^2 = π^2/6 (das müssen Sie nicht beweisen) den Reihenwert von ∞ ∑n=1 1/ (2n+1)^2.


Kann jmd. mir paar Tipps geben? ,


MfG

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$$\quad\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=1+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}\\\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n+1)^2}=\frac34\cdot\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}-1=\frac{\pi^2}8-1.$$

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ist der Grenzwert von summe (1/(2n)^2)=4/3? und wie kommt man drauf?

Nein. Es ist \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{4n^2}=\frac14\cdot\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}\).
Verrechne diese Summe mit der links des Gleichheitszeichens.

Leider verstehe ich die erste Umformung vor dem Implikationspfeil nicht. Nach welcher Regel(n) wurde \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}\) zum rechten Ausdruck umgeformt, bzw. wie kommt man darauf?

Umformung vor dem Implikationspfeil

auf der rechten Seite steht

 1  +  Summe für gerade n  [2n]   +  Summe für ungerade n  ohne 1  [2n+1]

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