Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass 6 teilt (3^n) - 3 (außer 0)... wo fehler?

Question

Also meine Induktionsannahme für n=1 und n=2 hat gepasst

Induktionsbehauptung ist 6 teilt 3^{k+1} -3

Beweis ist dann:

=3^k*3 - 3

=3*3^k - 3 (aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation)

dann ist 3^k - 3 ja die Induktionsvoraussetzung und dann bleibt noch 6 teilt 3, aber das stimmt ja nicht... hmmm

Answer 1

\(3\cdot 3^{n}-3\)

\(=2\cdot 3^{n}+3^n-3\)

Überzeuge Dich mit den Potenzgesetzen davon, dass \(3^{n}=3\cdot 3^{n-1}\). Damit erhältst Du

\(=2\cdot 3\cdot 3^{n-1}+(3^n-3)\)

\(=6\cdot 3^{n-1}+(3^n-3)\)

Nach der Induktionsvoraussetzung ist \(3^{n}-3\) ohne Rest durch \(6\) teilbar und der Ausdruck \(6\cdot 3^{n-1}\) aufgrund des Faktors \(6\) ebenfalls. Die Summe der beiden ohne Rest durch \(6\) teilbaren Ausdrücke ist ebenfalls ohne Rest durch \(6\) teilbar.

Comments

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