Beweisen sie mittels vollständiger Induktion, dass n^2 ≤ 4^n für alle n ∈ ℕ

Question

Aufgabe:

Beweisen sie mittels vollständiger Induktion, dass \( n^2 ≤ 4^n\) für alle \( n ∈ ℕ\).

Hinweis: Benutzen Sie im Induktionsschritt, dass \( 2n ≤ 2n^2\) für alle \( n ∈ ℕ\) gilt.

Problem/Ansatz:

Wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz oder eine Lösung geben könnte, da ich nicht mal weiß, wie ich da wirklich anfangen sollte.

Comments

Der Induktionsanfang sollte klar sein. Der Induktionsschritt könnte folgendermaßen aussehen:
4ⁿ⁺¹ = 4·4ⁿ ≥ 4·n² = n² + 2n² + n² ≥ n² + 2n + 1 = (n+1)².

Answer 1

n^2 ≤ 4^n

IA

1^2 ≤ 4^1 → wahr

IS

(n + 1)^2 ≤ 4^(n + 1)

n^2 + 2n + 1 ≤ 4 * 4^n

verwende 2n < 2n^2 und 1 < n^2

n^2 + 2n^2 + n^2 ≤ 4 * 4^n

4 * n^2 ≤ 4 * 4^n

n^2 ≤ 4^n