Aufgabe:
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion.
a) \( f(x)=x^{\frac{1}{3}} \)b) \( f(x)=\sqrt{x} \)c) \( f(x)=\frac{1}{x^{3}} \)d) \( f(x)=x^{\frac{3}{2}} \)e) \( f(x)=\sqrt[4]{x} \)f) \( f(x)=\sqrt[6]{x} \)g) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \)h) \( f(x)=x^{\frac{3}{4}} \)
9a) $$f(x)=x^\frac{1}{3}$$
$$ \text{allgemein }f'(x)=n\cdot x^{n-1}\\f'(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}\\ =\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\ =\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$$
b)
$$f(x) =\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\ =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \text{usw.}$$
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