Ableitung von Potenzfunktionen wie f(x) = x1/3

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion.

a) $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$
b) $f(x)=\sqrt{x}$
c) $f(x)=\frac{1}{x^{3}}$
d) $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$
e) $f(x)=\sqrt[4]{x}$
f) $f(x)=\sqrt[6]{x}$
g) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$
h) $f(x)=x^{\frac{3}{4}}$

Answer 1

  9a)          $$f(x)=x^\frac{1}{3}$$

$$\text{allgemein }f'(x)=n\cdot x^{n-1}\\f'(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}\\ =\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\ =\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$$

b)

$$f(x) =\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\ =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \text{usw.}$$