+2 Daumen
675 Aufrufe

Sei K ein Körper und A ∈ Kp×p eine Matrix mit Am = 0 für ein m ∈ ℕ. Außerdem sei ΦA: (Kp, +) → (Kp, +) der Gruppenhomomorphismus, der durch ΦA(x) = A·x gegeben und nicht injektiv ist.

Zeige, dass für λ ∈ K und x ≠ 0 die Gleichung ΦA(x) = λx nur für λ = 0 erfüllt sein kann.


ich weiß einfach nicht wie ich das zeigen soll. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand zeigen kann, wie ich das zeigen kann (: Lg Laura

Avatar von

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort



Es gelte \(\Phi_A(x)=A\cdot x=\lambda\cdot x\) für ein \(\lambda\in\mathbb K\) und \(x\ne0\).
Es ist \(A^2\cdot x=A\cdot A\cdot x=A\cdot(\lambda\cdot x)=\lambda\cdot(A\cdot x)=\lambda\cdot\lambda\cdot x=\lambda^2\cdot x\).
Induktiv folgt \(A^m\cdot x=\lambda^m\cdot x\), also \(\lambda^m\cdot x=0\). Wegen \(x\ne0\) ist \(\lambda^m=0\), d.h \(\lambda=0\).

MfG

Avatar von

Wirklich schön und verständlich gezeigt. Dankeschön!

Lg Laura

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community