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Sei K ein Körper und A ∈ Kp×p eine Matrix mit Am=0 für ein m ∈ ℕ.
Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus ΦA: (Kp, +) → (Kp, +), der durch ΦA(x) = A·x gegeben ist, nicht injektiv ist.

Ich habe schon mit Gruppenhomomorphismen gerechnet, aber hier verwirrt mich die Matrix. Kann mir jemand zeigen, wie man diese Aufgabe löst? Lg Laura ♥

von

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Ein Homomorphismus ist injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

Wegen Am = 0 ist

        Am · v = 0 für jedes v∈Kp.

Wegen der Assoziativität der Matrixmultiplikation ist dann

        A·(Am-1 · v) = 0 für jedes v∈Kp.

Fall 1: Am-1 · v ≠ 0 für ein v∈Kp. Mit diesem v ist dann Am-1 · v ein von 0 verschiedenes Element des Kerns von ΦA. Also ist in diesem Fall ΦA nicht injektiv.

Fall 2: Am-1 · v = 0 für alle v∈Kp. Dann ist wegen der Assoziativität der Matrixmultiplikation auch

        A·(Am-2 · v) = 0 für jedes v∈Kp.

Mit der gleichen Fallunterschiedung findet man dann per Induktion ein von 0 verschiedenes Element des Kerns von ΦA. Also ist auch in diesem Fall ΦA nicht injektiv.

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"oswald Meister der Matrizen"! Nochmal danke, das war wieder eine sehr hilfreiche Antwort (:

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