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Aufgabe:

Seien (G1, *1) und (G2, *2) zwei Gruppen.

Sind eine weitere Gruppe (H, ) und zwei Gruppenhomomorphismen ψ1: H → G1 und ψ2 : H → G2 gegeben, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus χ : H → G1 × G2 mit ϕ1 ◦ χ = ψ1 und ϕ2 ◦ χ = ψ2.

Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass es höchstens einen Gruppenhomomorphismus χ mit den geforderten Eigenschaften geben kann. Schreiben Sie χ(h) ∈ G1 × G2 dazu als χ(h) = (χ1(h),χ2(h)).
Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, dass ich zeige, dass die letzte Gleichung im Tipp-Abschnitt mit der "Multiplikation" verträglich ist und somit ein Gruppenhomomorphismus ist.

Wie kann ich aber zeigen, dass es genau nur einen Gruppenhomomorphismus geben kann?

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