Begriff der Stetigkeit Klausurhilfe

Question

ich schreibe morgen eine Klausur und vorige Woche wo wir das hatten, habe ich gefehlt. Mir wurde jetzt nur gesagt, was rankommt, damit ich mich vorbereiten kann.

Dafür habe ich Beispielsaufgaben bekommen, die ich nicht richtig verstehe... Es wäre schön, wenn man mir irgendwie eine vorrechnen kann, damit ich das irgendwie den Rechenweg übernehmen kann... Positiv ist halt, dass wir nicht sehr weit im Thema drin waren und so nichts extremes dran kommen kann. Vielleicht weiß ja einer weiter.


1. untersuchen Sie f auf Stetigkeit an der Stelle x0

a) f(x) = 2x - x²            b)  f(x) = |  x- 1 |          c)  f(x) = x/(x-2)

        x0 = 1                          x0 = 1                           x0 = 2

2. Skizzieren Sie den Graphen von f

Ist f an den Anschlusstelle nder Abschnitte stetig?

f(x) = { 2x.       x < 2

          { 6-x.      x> 2


3. Die funktion f(x) = (x²-4)/2x-4) ist bei x0 = 2 nicht definiert. Wie muss sie bei x0 = 2 definiert werden, damit sie dort stetig ist?


Also ich sehe irgendwie gar nicht mehr durch... ich hoffe irgendwer kann mir helfen...

Answer 1

1. untersuchen Sie f auf Stetigkeit an der Stelle x0

a) f(x) = 2x - x²            b)  f(x) = |  x- 1 |          c)  f(x) = x/(x-2)

        x0 = 1                          x0 = 1                           x0 = 2

a) b) stetig denn aus stetigen Funktionen zusammengesetzt.

c) nicht stetig. x=2 ist Definitionslücke. Wenn man x=2 einsetzt, ergibt sich 2/0. Das ist nicht definiert.

2. Skizzieren Sie den Graphen von f

Ist f an den Anschlusstelle nder Abschnitte stetig?

f(x) = { 2x.       x < 2

          { 6-x.      x> 2

Stetig. Bei beiden Teilen 2 einsetzen und es gibt gleich viel!

2*2 = 4

6-2 = 4

Zur Skizze zeichne die Geraden y = 2x und y = 6-x. Die beiden schneiden sich im Punkt (2,4). Links vom Schnittpunkt gilt 2x und rechts davon 6-x. Die Funktion hat also in (2,4) einen Knick, aber keine Sprungstelle. Daher ist sie stetig.

3. Die funktion f(x) = (x²-4)/(2x-4) ist bei x0 = 2 nicht definiert. Wie muss sie bei x0 = 2 definiert werden, damit sie dort stetig ist?
 

f(x) = (x²-4)/(2x-4)

= ((x-2)/(x+2)) / (2(x-2))            | Unstetigkeitsstelle rauskürzen

= (x+2) / 2

jetzt x = 2 einsetzen

f(2) = 4/2 = 2

Kontrolle: Graph von f(x). Der Funktionsplotter zeigt dir nur, am Punkt bei x=2 an, dass er da eine Definitonslücke hat. Eigentlich sollte die Gerade in P(2,2) ein 'Loch' haben, das du mit f(2) :=2 stetig (d.h. ohne Sprung) stopfen kannst.

Am besten schaust du dir die andern Funktionen auch mal noch am Plotter an. 

Comments

Graph von 1.a) Parabel mit Scheitelpunkt S(1,1)

1.b) grün: zusammengesetzt aus 2 Strahlen, die in (1,0) zusammenlaufen.

1.c) violett: Vertikale Linie liegt nicht auf dem Graphen. Sie zeigt nur an, dass die Kurve an der Stelle x = 2 springt. D.h. nicht stetig ist.

Je nach Schulstufe, darfst du einfach so argumentieren oder du musst das noch mit Links-und rechtsseitigen Grenzwerten arbeiten. D.h. einen Grenzwert h gegen Null berechnen.

Vgl. z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

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Ach du Kacke danke für deine Hilfe. Ich hoffe ich verstehe es. Weiß zwar noch nicht ganz bei Aufgabe 1, wie du das siehst, aber danke!

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Darf ich noch was fragen damit ich es auch verstehe zu 100%-
Bei der Aufgabe f(x)  =  { x + 2,   x <  0

                                           3 - x,     x > 0


kreuzen sich die Geraden wieder. Heißt das, dass die wieder stetig sind?


Und wenn sie sich nicht berühren, dann sind sie unstetig?

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Das Problem ist, dass sie sich nicht an der Stelle x = 0 kreuzen. Links von x = 0 gilt x+2 und rechts 3-x.

Daher liegt bi x = 0 ein Sprung von 2 nach 3 vor. Das ist dann eine Unstetigkeitsstelle.

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Gott is das kompliziert. Also die x = ... am ende bedeuten immer, dass dies die Stelle ist, wo wo die sich kreuzen müssen? Tut mir leid ich komme gerade erst rein und die Videos im Internet dazu behandeln nicht wirklich das Thema.

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Oder ne.... das am Ende mit x = ... bedeutet immer, dass man sich danach richten muss ob die Funktion stetig ist oder nicht, richtig?

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  Oder ne.... das am Ende mit x =a  bedeutet immer, dass man sich danach richten muss ob die Funktion stetig ist oder nicht, richtig?

Ich glaube, du hast das begriffen.

f(x) = … , x>a

f(x) = … , x<a…

zeigt dir dank x>a und x<a immer den Definitionsbereich, in dem die Zuordnungsvorschrift gilt, die davor steht.

Mach bei x=a jeweils eine gestrichelte, vertikale Linie mit Bleistift. Sie zeigt dir, dass dort die Definitionsbereiche ändern und erst mal kein Funktionswert definiert ist.

Jetzt schaust du, ob man das Loch mit einem Punkt stopfen kann (stetig) oder ob eine Stufe nötig ist (unstetig).

Stetige Funktionen erkennst du daran, dass du sie in einem Strich ohne abzusetzen zeichnen kannst.

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Ok dann danke für deine Hilfe und nerven!