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ich stecke in folgende Aufgabe fest:Bild Mathematik

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Hallo  Xtream_26

Der gegebene Vektor mit dem Parameter \(a \) soll sich als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen lassen, das schreiben wir hin
$$  x\cdot \begin{pmatrix}2\\3 \\ -2 \end{pmatrix} + y\cdot  \begin{pmatrix}-1\\ 1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\2 \\ -8\end{pmatrix}  $$ und erhalten das Gleichungssystem
$$2x - y = a \\3x + y = 2  \\-2x + 2y = -8 $$Das versuchen wir z.B. mit dem Gaußalgorithmus zu lösen. Wir schreiben die erweiterte Koeffizientenmatrix auf
$$\left(  \begin{matrix}     \phantom{-}2 & -1\\         \phantom{-}3 &      \phantom{-}1\\    -2 &      \phantom{-}2  \end{matrix}\left|\begin{matrix}        \phantom{-}a \\       \phantom{-}2 \\ -8  \end{matrix}\right)\right.$$ und bringen sie in die Treppennormalform, die wir nach einigen wenigen Umformungen bekommen.
$$\left(  \begin{matrix}1 & 0\\     0 &1\\    0 &   0  \end{matrix}\left|  \begin{matrix}a-4 \\  a-8 \\ -8a+44  \end{matrix}\right)\right. $$Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Das ist der Fall wenn \(-8a + 44 = 0 \) gilt. Auflösen nach \(a \) ergibt  \(a = 5,5 \).

Grüße

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