Exponential- und Logarithmusfunktionen: Einwohnerzahl

Question

Hey:) Bräuchte da mal wieder Hilfe-

Die Bevölkerung einer Region ist von 1995 bis 2010 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 1995 hatte die Region 82000 Einwohner, im Jahr 2010 hatte sie 105000 Einwohner. Wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird.

a) Wie viele Einwohner wird die Region im Jahr 2015 haben?

b) Wann wird die Region 150000 Einwohner erreicht haben?

Hinweis: Zähle die Jahre von 1995 an, dh. t=0 entspricht dem Beginn des Jahres 1995.

Answer 1

Die Bevölkerung einer Region ist von 1995 bis 2010 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 1995 hatte die Region 82000 Einwohner, im Jahr 2010 hatte sie 105000 Einwohner. Wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird.

E ( t ) = E0 * fak ^t
E ( 0 ) = 82000 * fak ^0
E0 = 82000

E ( 15 ) = 82000 * fak ^15 = 105000
82000 * fak ^15 = 105000
fak ^15 = 105000 / 82000 | hoch 1/15
fak = ( 105000 / 82000 ) ^{1/15}
fak = 1.0166
1.66 %

E ( t ) = 82000 * 1.0166 ^{t}

a) Wie viele Einwohner wird die Region im Jahr 2015 haben?
2015 = 20 Jahre

E ( 20 ) = 82000 * 1.0166 ^20 = 113977

b) Wann wird die Region 150000 Einwohner erreicht haben? Hinweis: Zähle die Jahre von 1995 an, dh. t=0 entspricht dem Beginn des Jahres 1995.

E ( t ) = 82000 * 1.0166 ^{t} = 150000

1.0166 ^{t} = 150000 / 82000 | ln
t * ln(1.0166) = ln ( 150000 / 82000 )
t = 36.68 Jahre