Die Multiplikation in ℕ ist bezüglich der Relation „… ist Teiler von …“ in ℕ monoton?

Question

Hallo. Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Beweisen Sie : Die Multiplikation in ℕ ist bezüglich der Relation „… ist Teiler von …“ in ℕ monoton.

Wie soll ich das anstellen? Ich kann nicht mal formulieren, was ich beweisen soll.

Vllt so: Für alle x Element N gilt: a teilt b => a teilt b*c ? Oder was:D  das kann aber eigentlich nicht sein, weil ich in der aufgabe danach genau das beweisen soll :D das wäre ja doppelt gemoppelt. hm... Hilfeeee ;-)

∀a,b,c∈ℕ:a|b⇒a|b⋅c

Answer 1

Ich vermute mal, das heißt in Anlehnung an

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung#Monotoniegesetze_im_Zusammenhang_mit_den_Grundrechenarten

∀a,b,c∈ℕ:a|b⇒a⋅c|b⋅c

Und das beweist du leicht mit der Teilbarkeitsdefinition:

a|b    ==>  Es gibt ein n∈ℕ mit  a*n=b

        ==>  a*n-b = 0

       ==>    (a*n-b)*c = 0   weil 0 mal irgendwas gleich 0

           ==>    a*c*n-b*c = 0

                 ==>    a*c*n = b*c

                  ⇒a⋅c|b⋅c.  q.e.d.