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Aufgabe:

Sei \( f \in K[X] \) ein Polynom vom Grad \(n\) und \( K \subseteq L \) der Zerfallungskörper von \(f\).

Zeigen Sie, dass \([L:K]\) ein Teiler von \(n!\) ist.


Problem/Ansatz:

Es wurde der Hinweis gegeben vollständige Induktion zu verwenden.

vor von

Formuliere doch schon mal Induktionsanfang, -voraussetzung und -behauptung.

Tipp für den Induktionsschritt: Mache eine Fallunterscheidung zwischen f irreduzibel und f reduzibel.

Induktionsanfang:

Für \(grad(f)=n=1\) gilt \( f=X+a \), mit \( a \in K \), daraus folgt \(f(-a)=0\) und \(K=L\), also \([L:K] = 1\).

Induktionsvoraussetzung, & -behauptung:

Sei \( f \in K[X]  \) mit \( grad(f) = n \) und Zerfällungskörper \( K \subseteq L \) und \( [L:K] | n! \), dann gilt für ein \( f_2 \in L[X] \) mit \( grad(f_2) = n+1 \) und Zerfällungskörper \( L \subseteq Z \), \( [Z:L] | n!(n+1) \).

in kurz: \( [L:K]|n! => [Z:L] | (n+1)! \)

Ok, das sieht doch schon einmal ganz gut aus. Beim zweiten Polynom solltest du aber auch Z|K betrachten und nicht Z|L!

jetzt verwende den Tipp oben,

Wenn f irreduzibel ist und du dir eine Nullstelle x in einem algebraischen Abschluss suchst, was gilt dann für [K(x):K] sagen? Z entsteht ja durch Adjunktion aller Nullsten von f zu K. Jetzt haben wir in K(x) schon eine hinzugefügt, fehlen noch die Nullstellen von g(t) = f(t) / (t - x) das ist ein Polynom vom Grad n.

Falls f = g * h reduzibel kannst du zuerst den Zerfällungskörper Z_1 von g über K betrachten und anschließend den Zerfällungskörper Z_2 von h über Z_1. Dann musst du dir auch hier kurz überlegen warum Z = Z_2 und dann kannst du zweimal die IV auf die beiden Grade [Z_2:Z_1] und [Z_1:K] anwenden.

Für f irreduzibel:

Ich weiß, dass \( [K(x):K] = deg(f)\) ist, falls f das Minimalpolynom von x ist. Aber kann ich sicher davon ausgehen, dass es das ist?

Wenn das so ist und \(g(t) = f(t)/(t-x)\) noch ein Polynom von Grad n ist, dann würde ich die nächste Nullstelle y an \(K(x)\) adjungieren und es würde gelten: \([K(x,y):K(x)] = deg(g)\), falls g wieder ein Minimalpolynom ist.

Mit dem Gradsatz komme ich auf \( [K(x,y):K] = [K(x,y):K(x)] \cdot [K(x):K] \). Wenn ich das für alle n Nullstellen mache, komme ich am Ende also auf \([L:K] = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n\). Diese Argumentation ist aber hinfällig, wenn das Polynom kein Minimalpolynom ist.

Ich weiß, dass \( [K(x):K] = deg(f)\) ist, falls f das Minimalpolynom von x ist. Aber kann ich sicher davon ausgehen, dass es das ist?

Da f(x)=0 ist das Mipo von x ein Teiler von f. Jetzt ist f aber irreduzibel, also muss das Mipo schon f sein.

Und beim Rest kannst du es dir viel einfacher machen: Begründe, warum g in K(x)[t] liegt, dann ist L der Zerfällungskörper von g über K(x) die IV liefert also [L:K(x)] | n! Und [K(x):K]=deg(f)=n+1, also [L:K] | (n+1)!.

falls g wieder ein Minimalpolynom ist.

Das muss im allgemeinen nicht gelten.

zB \( f = t^4 +t^3+t^2+t+1\) ist irreduzibel über Q. Der Körper \( \mathbb Q (\zeta_5) \) mit primitiver 5ter EW ist bereits der Zerfällungskörper, also insb. zerfällt \( g =f/(t-\zeta_5) \) auch darüber und kann nicht irreduzibel sein.

Okay, ich denke ich habe den Fall f irreduzibel jetzt verstanden, aber f reduzibel habe ich noch nicht durchschaut.

Sei \( f=g \cdot h \) mit \( deg(f) = n+1 \). Dann könnte ich \(g\) so wählen, dass es wieder irreduzibel ist. Daraus folgt dann, dass für eine Nullstelle \( y \notin K \), \(g(y)=0\) der Grad \( [K(y):K] = deg(g) \lt n+1 \) ist. Über \(K(y)[X]\) betrachte ich dann noch \(h\) mit \( deg(h) < n+1 \) und \( p = g/(X-y) \) mit \( deg(p) = deg(g)-1 \). Da \( f=g \cdot h = p \cdot (X-y) \cdot h \) ist, gilt \( deg(p \cdot h) = n \).

Wenn \(Z_2 \) der Zerfällungskörper von \(h\) ist und \( Z_1 \) der Zerfällungskörper von \(g\), dann gilt auf jeden Fall \( [Z_2 : K] = [Z_2 : Z_1] \cdot [Z_1 : K] = [Z_2 : Z_1] \cdot [Z_1:K(y)] \cdot [K(y):K] \).

Wie kann ich jetzt die IV anwenden und wie bekomme ich n+1 in die Gleichung? Über \(h\) und \(p\) habe ich ja keine weiteren Informationen.

Du denkst da wieder etwas zu komliziert. f=g*h, sei Z der ZFK von g über K, dann ist L der ZFK von h über Z, also

[L:K]=[L:Z]*[Z:K]

der erste Faktor teilt (deg h)! der zweite (deg g)! nach IV. Warum teilt dann ihr Produkt (deg f)!=(deg g + deg h)!

Also zz a | u! und b | v! dann gilt a*b | (u+v)!... Vielleicht schaust du dir dazu mal Binomialkoeffizienten an, die sind ja von der Form (u+v)!/(u! * v!) und immer natürliche Zahlen.

der erste Faktor teilt (deg h)! der zweite (deg g)! nach IV

Darf ich die IV auf h und g anwenden? Ich dachte wenn ich die IV für ein Polynom von Grad n aufgestellt habe, dann darf ich sie auch nur für dieses n verwenden. Die Polynome h und g sind ja nicht beide von Grad n.

Oh ja, dass ist natürlich richtig... Aber das kannst du einfach ganz einfach reparieren indem du in die IV mit \(\deg f\le n\) formulierst. Das ist dann streng genommen eine starke Induktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion#Starke_Induktion

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