e-Funktion an einer Gerade spiegeln

Question

ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Wie komme ich bei der 6c) auf eine Lösung?

Die Lösung sollte "  f(x)= -e^x-4 " sein. Wie komme ich darauf? Muss man etwa eine Skizze machen?

Danke :)

Answer 1

Hi,

ich veranschauliche dir die Graphen mal. Hierbei ist der blaue immer e^x und der rote immer der andere entsprechend zum Aufgabenteil.

a)

~plot~ e^x;e^{-x} ~plot~

EDIT(Test): Plotlux öffnen

f₁(x) = e^xf₂(x) = e^-x

Wir nennen die Funktion durch Spiegelung an der y-Achse entsteht einfach mal g. Für g muss gelten:

$$g(x)=e^{-x}$$

Bespielsweise willst du ja, dass der Wert an der Stelle 2 von der Funktion g dem Wert an der Stelle -2 von e^x entspricht. Oder der Wert an der Stelle -1 von der Funktion g soll dem Wert 1 der Funktion e^x entsprechen.

b)

Wir fangen damit an, dass wir zeigen wie du Funktion aussieht, wenn sie um 2LE nach oben verschoben ist.

~plot~ e^x;e^{x}+2 ~plot~

EDIT(Test): Plotlux öffnen

f₁(x) = e^xf₂(x) = e^x+2

Wir nennen die Funktion dazu einfach mal h.

Es muss gelten:

$$h(x)=e^x+2$$

Durch die +2 erhöhst du den Funktionswert ja immer um 2LE, d.h. du verschiebst du Funktion nach oben.Nun verschieben wir die Funktion noch um 3LE nach rechts und nennen sie g.Plotlux öffnen

f₁(x) = e^xf₂(x) = e^x-3+2

Für g muss gelten:$$g(x) = e^{x-3}+2$$Du kannst dir es so versuchen zu erklären: Du willst ja, dass deine Funktion um 3LE nach rechts verschoben wird. D.h., dass der Funktionswert an der Stelle 3 von deiner verschobenen Funktion dem Funktionswert an der Stelle 0 von deiner "Ausgangsfunktion" entsprechen muss. Genauso muss der Funktionswert an der Stelle 4 von deiner verschobenen Funktion dem Funktionswert an der Stelle 1 von deiner "Ausgangsfunktion" entsprechen.

Allgemein kann man also sagen, dass der Fuktionswert an der Stelle x der verschobenen Funktion dem Funktionswert an der Stelle x-3 der "Ausgangsfunktion" entsprechen muss.

c)Die überlasse ich jetzt mal dir. Probier's mal! :)

Comments

Ok, die Graphen werden irgendwie bis auf einen nicht angezeigt. Kann mir jemand sagen woran das liegt?

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Sollte mir das was die Leute schreiben genauer durchlesen. Schreibe dir gleich was zur c) :)

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Wir schauen uns einfach mal die Graphen an:

Plotlux öffnen

f₁(x) = e^xf₂(x) = 2f₃(x) = 4-e^x

Der blaue Graph ist e^x, der rote ist unsere Gerade an der wir spiegeln sollen und der grüne ist der gespiegelte Graph.

Betrachte mal nun die Stelle x=-1. Wir wollen jetzt speziell für diesen Punkt den Funktionswert der gespiegelten Funktion bestimmen:
Wir sehen, dass der Funktionswert überhalb der Geraden liegt an der wir spiegeln, d.h. g(-1)=2+d, wobei d für die Längeneinheiten steht die wir von der Geraden y=2 bis hoch zum Funktionswert der gespiegelten Funktion gehen müssen. d kennen wir aber! d ist nämlich genauso groß wie der Abstand von dem blauen Graphen bis zur Geraden!

Und dieser Abstand ist natürlich einfach die Differenz: d=2-e^-1

Wir erhalten also: g(-1)=2+(2-e^-1)=4-e^-1

Wir mussten natürlich nicht unbedingt die Stelle x=-1 betrachten, wir hätten jede beliebige betrachten können. Deswegen können wir sagen, dass

g(x)=4-e^x gilt.

War das verständlich?

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Mein bearbeitetes Kommentar wird leider nicht angezeigt:

Habe gesehen, dass wir an y=-2 spiegeln sollten. Die Vorgehensweise ist aber die gleiche. Sehe es als Übung, wenn du es jetzt noch mal an der richtigen Geraden spiegelst :)

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Hallo Bruce

Ok, die Graphen werden irgendwie bis auf einen nicht angezeigt. Kann mir jemand sagen woran das liegt?

Vielleicht zu weit hineinskaliert? In deiner ersten Darstellung sehe ich 2, in der zweiten 3 Graphen.

Grüße

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Hi,

danke für die Antwort.

Hineinskaliert hatte ich da eigentlich nicht. Die Graphen, die dir angezeigt werden, sind zumindest mal auch die die mir angezeigt werden. Hm...ich hatte davor und danach halt den Text stehen. Wohlmöglich wurde damit irgendwie was zerstört.

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EDIT (Test):

Du meinst

~plot~ e^x;e^{-x} ~plot~ 

bei a)? 

folgt mehr. 

Scheint sich nicht  mit TeX zu vertragen(?) 

Screenshot:

EDIT: Habe nun oben die beiden Code nochmals aus plotlux kopiert und das Problem mal hier gemeldet. Ich kann bei der Eingabe keinen Unterschied erkennen.

https://www.mathelounge.de/feedback

Hast du das eventuell zuerst in ein Textverarbeitungsprogramm eingegeben und dann kopiert? Könnte HTML-Konflikt sein (?) 

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Hi,

danke fürs editieren.

Ja, genau, da sollten eigentlich noch die Graphen angezeigt werden.

Ich hatte die Graphen auf https://www.matheretter.de/rechner/plotlux eingegeben und dann dieses "~plot~ ...~plot~ " kopiert und eingefügt. Kai meinte auch, dass es eventuell ein HTML-Konflikt sein könnte und ich es mal mit Strg + Shift + v versuchen sollte.

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Wenn ihr in Chrome Strg+Shift+C drückt und auf den Plot-Text klickt, dann seht ihr den HTML-Code des Plot-Textes:

<p><span style="color: rgb(85, 85, 85)">~plot ~ e^x</span><span style="color: rgb(85, 85, 85)">;e^-x</span><span style="color: rgb(85, 85, 85)"> ~ plot~</span><br></p>

Der Plot-Text ist durch span-Tags gesplitet, daher wird er nicht geparset. Abhilfe: Einfügen des Textes mit Shortcut Strg+Shift+V (nur Text ohne Formatierung). Oder Button ganz rechts der Editorleiste drücken und Quellcode säubern.

Answer 2

f(x) = e^x

a) Gespiegelt an der y-Achse

f(-x) = e^{- x}

b) Um 3 LE nach rechts und um 2 LE nach oben verschoben

f(x - 3) + 2 = e^{x - 3} + 2

c) Gespiegelt an der Geraden y = -2

-4 - f(x) = - 4 - e^x

Man kann es auch nacheinander machen

1. Um 2 nach oben verschieben

f(x) + 2

2. An der x-Achse spiegeln

-(f(x) + 2) = - f(x) - 2

3. Um 2 nach unten verschieben

- f(x) - 2 - 2 = - f(x) - 4