Exponentialfunktion: Auf alle Beispiele anwendbare Regeln. Gift resp. Farbstoff wird abgebaut.

Question

1. Ein Gewässer wurde mit einem Umweltgift verseucht, das durch chemische Zersetzung annähernd exponentiell abgebaut wird. In einem Liter Wasser sind zwei Jahre nach der Vergiftung noch 2 mg des Giftes, nach weiteren drei Jahren noch 1 mg vorhanden. Es sei N8t) die Giftmenge (in mg pro Liter Wasser) nach t Jahren.

a) Stell eine Formel für N(t) auf.

b) Welche Giftmenge ist nach 20 Jahren noch vorhanden?

2. Um die Funktion der Bauchspeicheldrüse zu testen, wird ein bestimmter Farbstoff in sie eingespritzt und dessen Ausscheiden gemessen. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse scheidet pro Minute ca. 4% des jeweils noch vorhandenen Farbstoffes aus. Wir nehmen an, dass 0,2 g des Farbstoffes injiziert werden und dass nach 30 Minuten noch 0,01 g vorhanden sind. Funktioniert die Bauchspeicheldrüse normal?

Ich sollte die beiden Aufgaben lösen und habe dazu eine Frage:

Wie soll man beim Lösen von solchen Aufgaben vorgehen bzw. gibt es ein nach einer bestimmten Reihenfolge ablaufendes Schema das man immer anwenden kann?

Also als erstes suche ich immer den Startwert und den Wachstumsfaktor, doch diese aus den Texten zu finden ist nicht immer einfach, deshalb gibt es solche Aufgaben wie diese bei denen ich gar nicht weiß wie ich annfangan soll.

Ich bitte um eine ausführliche Erklärung für einen Anfänger.

Answer 1

1)
Den Startwert und die Wachstumsrate kann man nicht direkt aus dem Text entnehmen. Man muss sie mit einem Gleichungssystem bestimmen.
Die allgemeine Gleichung einer Exponentialfunktion ist ja \( N(t)=a\cdot b^t \).
Aus dem Text kann man jetzt diese Gleichungen aufstellen:
$$ 2=a\cdot b^2 $$ $$ 1=a\cdot b^5 $$
Durch Division der zweiten durch die erste Gleichung erhält man \( b^3=\frac{1}{2}, \) also \( b=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2} \). Wenn man das in eine der beiden Gleichungen einsetzt, erhält man \(a=2\sqrt[3]{4} \).
Also ist \( N(t)=2\sqrt[3]{4}\cdot \left(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)^t. \)
Nach 20 Jahren sind dann noch \( N(20)=2\sqrt[3]{4}\cdot \left(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)^{20}=0,03125mg \) Gift pro Liter Wasser enthalten.

2)
Hier ist a die ursprüngliche Menge des Farbstoffs und \( b=1-0,04=0,96 \) (bei einer normalen Bauchspeicheldrüse).
Dann gibt \( N(t)=0,2\cdot 0,96^t \) die Menge an Farbstoff nach t Minuten an (bei 0,2g am Anfang und einer normalen Bauchspeicheldrüse).
Nach 30min ergibt das \( N(30)=0,2\cdot 0,96^{30}\approx 0,059g \).
Da bei der getesteten Drüse nur noch 0,01g vorhanden waren, scheidet diese Bauchspeicheldrüse mehr Farbstoff aus als eine normale.