Maximale Bereiche finden, auf denen die Einschränkung von f injektiv ist.

Question

Ich soll die maximalen Bereiche finden, auf denen die Einschränkung von f injektiv ist, sowie das Bild der Einschränkung bestimmen.

Die Funktion lautet f(x)= (a*x-b)/(c*x-d) , a,b,c,d ∈ℝ mit ad-bc≠0 und x∈ℝ ohne x=d/c

Die Ableitung ist somit f'(x)= (-d*a+c*b)/c²+x²-2c*d*x+d²

Ich denke, dass ich a,b,c,d finden muss, damit für alle x,  f(x) streng monoton steigend / fallend ist, also alle Werte der Ableitung entweder positiv oder negativ. Dass ist jedoch für alle Werte des Definitionsbereiches der Fall. Nun weiss ich nicht wie ich einen "maximalen Bereich" finden soll, und was für eine Einschränkung ich beachten soll.

^{lG Salmonhunter}

Answer 1

Der maximale Bereich ist immer:         ℝ ohne x=d/c

Denn wenn zwei Funktionswerte gleich sind, etwa die bei u und v,

also f(u) = f(v) dann gilt 

(au-b) / (cu-d) = (av-b) / (cv-d)  

multipliziere mit den Nennern, löse die Klammern auf und vereinfache zu 

adu - cbu  =  adv - cbv   

<=> ( ad-cb)*u = ( ad-cb)*v

und da nach Vor. die Klammer nicht 0 ist, kannst du dadurch teilen

und hast  u = v, also ist f injektiv.