Nullstellen einer trigonometrischen Funktion

Question

Gegeben zwei Funktionen;

f(x)= 0,5 + sin(x) und g(x)= cos(x)

gemeinsame Schnittstellen im Intervall [0;2π]

f(x)=g(x)

⇒0,5+ sin(x) = cos(x)

⇔ 0,5 + sin(x) - cos(x) =0

wie soll ich es nun weiter berechnen?

danke im Voraus

Answer 1

Hi,

durch Quadrieren von

$$0,5=cos(x)-sin(x)$$

erhält man

$$0,25=cos(x)^2-2 cos(x) \cdot sin(x) + sin(x)^2 \\ 0,25 = 1-sin(2x) \\ sin(2x)=0,75$$

Für die zweite Zeile habe ich verwendet, dass

$$sin(x)^2+cos(x)^2=1 $$

und

$$2 \cdot sin(x) \cdot cos(x) = sin(2x)$$

gilt.

Comments

Durch Setzen eines Backslashs vor sin,cos,tan wird die funktion nicht kursiv gerendert. Ich kenn mich mim rendern zwar nicht so gut aus wie RW, aber das weiß ich etzala.

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und dann mit     

⇒2x = k * π mit( k∈ℤ)

⇔x = k/2 * π

oder so ? wie kann man denn auf die schnittstellen kommen?

  

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@MathFox: Dankeschön, werde es mir merken.

@Denker2.0:

Du kannst x bestimmen durch

$$x=\frac{\arcsin(0.75)}{2}$$

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gibt es nicht 2 schnittstellen?

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"2x = k * π mit( k∈ℤ)"

Damit bekommst du die Nullstellen

Meinst du bei

SIN(2x) = 0.75

ist die 0.75 für die Lösung unwichtig?

Bedenke: Mein Satz vom Direkten auflösen. Jede Funktion, an der die Unbekannte nur an einer Stelle auftritt, kann direkt zur Unbekannten aufgelöst werden.

Und Achtung. Durch das quadrieren einer Gleichung können Scheinlösungen entstehen. Daher sind im Anschluss die Lösungen zu prüfen.

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hat sich alles geklärt, hab mal wieder zu QUER gedacht^^

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Wir müssen ja die Nullstellen der Funktion

$$sin(2x)-0.75$$

bestimmen.

Jede Nullstelle dieser Funktion ist, wie Der_Mathecoach bereits sagte, ein Kandidat für eine Lösung deiner Gleichung.

~plot~ cos(x)-sin(x)-0.5;sin(2x)-0.75 ~plot~

Jede Nullstelle des blauen Graphen ist eine des roten, aber nicht umgekehrt.

Nun wissen wir, dass wir eine Nullstelle bei 

$$x_1=\frac{\arcsin(0,75)}{2}$$

haben, womit wir auch eine bei

$$x_2= \frac{\pi}{4}+(\frac{\pi}{4}-\frac{\arcsin(0,75)}{2}) \\ =\frac{\pi}{2}-\frac{\arcsin(0,75)}{2} \\ =\frac{\pi-\arcsin(0,75)}{2}$$

haben.

(Was besseres fällt mir gerade nicht ein für auf das x_2 zu kommen. Wäre gut, wenn jemand eine bessere Idee hat.)

Somit liegen unsere Kandidaten in der Menge

$$M_1 = \{ x_1+k \cdot \pi \ | \ k \in \mathbb{Z} \}$$

und

$$M_2 = \{ x_2+k \cdot \pi \ | \ k \in \mathbb{Z} \}$$

Das liegt daran, dass sin(2x) ja π-periodisch ist (da der Sinus 2π-periodisch ist).

Nun musst du halt schauen, welche der Kandidaten tatsächlich Nullstellen sind und im Intervall [0,2π] liegen.

Answer 2

0.5 + SIN(x) = COS(x)

0.5 = COS(x) - SIN(x)

0.5 = √2·(√2/2·COS(x) - √2/2·SIN(x))

0.5 = √2·(SIN(pi/4)·COS(x) - COS(pi/4)·SIN(x))

0.5 = √2·SIN(pi/4 - x)

Der Rest ist dann Peanuts

Comments

Danke für eure Mühe :-)!

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Wie kommt Otto-Normal-Mathematiker von Zeile 2 auf Zeile 3 und 4?

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Nachdem ich mir überlegt hatte das man ja sicher nur über die Additionstheoreme weiterkommt hab ich mein Tafelwerk rausgenommen und geschaut wo etwas in der Struktur 

COS(x) - SIN(x) 

auftritt. Die nötige Formel war also schnell gefunden. Der Rest ist dann ja nur das hineinzwängen in ein Korsett.

Und das hab ich geschafft obwohl die Additionstheoreme mir noch nie sonderlich gut gelegen haben. Auswendig kenne ich glaub ich nur SIN^2(x) + COS^2(x) = 1. Alle anderen muss ich leider auch immer in meiner Formelsammlung nachschlagen.

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Danke dir. Guten Rutsch und ein gutes Neues Jahr. Bleib so wie du bist - zumindest in Mathe! :)

PS:

Mit den Theoremen geht es mir wie dir.