Periode der Funktion f(x) = sin(nx)/(sin(5/n x)) ist 3π . n € Z , n =?

Question

Kann mir bei dieser Aufgabe jemand helfen? Ich bräuchte zumindest einen Ansatz...Bitte...;) 

Answer 1

Dazu muss ja gelten f(x) = f(x+3pi) , also 

sin(nx) / sin ( 5/n *x ) = sin(n(x+3pi)) / sin ( 5/n *(x+3pi)  ) 

sin(nx) * sin ( 5/n *(x+3pi) ) = sin(n(x+3pi))  *  sin ( 5/n *x  ) 

sin(nx) * sin ( 5/n *x  +  15pi/n ) ) = sin(nx+3npi))  *  sin ( 5/n *x  ) 

mit Additionstheorem:

sin(nx) * sin ( 5/n *x  +  15pi/n ) ) = sin(nx+3npi))  *  sin ( 5/n *x  ) 

⇔  sin(nx) *( sin ( 5/n) *cos(15pi/n ) + cos(5/n*x) * sin(15pi/n) ) 

                             = ( sin (nx) * cos( 3npi) + cos(nx)*sin(3npi) ) )*sin(5/n *x)

⇔  sin(nx) * sin ( 5/n) *cos(15pi/n ) + sin(nx)*cos(5/n*x) * sin(15pi/n) )

               =  sin (nx) * cos( 3npi)*sin(5/n)*x  + cos(nx)*sin(3npi)  * sin(5/n *x) 

Das gilt wenigstens mal für n=3.  Vielleicht kann man da noch mehr dran

erkennen ???

Comments

Danke für deine Hilfe...aber wie komme ich darauf dass es genau bei n=3 so ist? bzw. wie kann ich zeigen dass, es für bestimmte n gilt? ich glaube dass es auch bei n=15 gilt. Zumindest wenn ich die Funktion in Geogebra zeichne erscheint mir dies so...

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wie gesagt:  

Das gilt wenigstens mal für n=3. Vermutlich auch noch für andere n.

Dass es für n=3 gilt sieht man durch Einsetzen:

sin(3x) * sin ( 5/3) *cos(15pi/3 ) + sin(3x)*cos(5/3*x) * sin(15pi/3)         

     =  sin (3x) * cos( 3*3pi)*sin( 5/3)*x ) + cos(3x)*sin(9pi)  * sin(5/3 *x) 

<=> 

sin(3x) * sin ( 5/3) *cos(5pi ) + sin(3x)*cos(5/3*x) * sin(5pi )       

       =  sin (3x) * cos( 9pi)*sin(5/3)*x  + cos(3x)*sin(9pi)  * sin(5/3 *x) 

<=>  sin(3x) * sin ( 5/3) *(-1) + sin(3x)*cos(5/3*x) * 0   

               =  sin (3x) * (-1)*sin(5/3)*x  + cos(3x)*0  * sin(5/3 *x) 

<=>  sin(3x) * sin ( 5/3) *(-1)       =  sin (3x) * (-1)*sin(5/3)*x

Passt.

Vielleicht kann man  durch geschickte Fallunterscheidungen

( so etwa nach der Art: Wann ist sin(3x)=0 etc )  wirklich alle

Möglichkeiten bestimmen.

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für n=15 giltets auch...

Bei der Fallunterscheidung komme ich aber irgendwie nicht voran...gibt es noch andere Möglichkeiten? oder kannst du mir noch bei der Fallunterscheidung helfen?