Eigenvektor zum Eigenwert berechnen

Question

Aufgabe:

Es gibt einen einzigen Eigenwert $\lambda=1$ mit algebraischer Vielfachheit 2. Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ ist bestimmt durch die Lösung des Gleichungssystems $\left(B-\lambda I_{2}\right) \cdot v= \left(\begin{array}{l}{0} \\ {0}\end{array}\right) .$ Es gilt
$$B-\lambda I_{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {-1} \end{array}\right)^{Z_{2}+Z_{1}}\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right)$$
und somit ist $v_{1}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1}\end{array}\right)$ der einzige Eigenvektor zu $\lambda$ (geometrische Vielfachheit $=$
1). Wir brauchen einen weiteren verallgemeinerten Eigenvektor $v_{2}$ zu $\lambda .$ Diesen bestimmt man mit folgendem Ansatz (Jordankette):
$$\left(B-\lambda I_{2}\right) v_{2}=v_{1}, \quad \text { also } \quad\left(\begin{array}{cc|c} {1} & {1} & {1} \\ {-1} & {-1} & {-1} \end{array}\right)^{Z_{2}+Z_{1}}\left(\begin{array}{cc|c} {1} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$$
Wir setzten also $v_{2}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0}\end{array}\right)$ um einen linear unabhängigen Vektor zu erhalten.

Ansatz:

Es geht darum Eigenvektoren zum Eigenwert zu berechnen.

Den ersten Eigenvektor hat man leicht berechnet, nämlich v1 (1,-1)

Meine Frage lautet nun, wieso braucht man noch einen verallgemeinteren Vektor den man mit Jordankette berechnet?

Kann man nicht als weiteren Vektor einfach v2 (1,0) nehmen oder (0,1)?

Answer 1

Ich kann nur raten, dass wohl die Matrix gegeben war  B =

2        1
-1       0

Kann man nicht als weiteren Vektor einfach v2 (1,0) nehmen oder (0,1) ?

wenn du z.B. rechnest B*v2 gibt das

2
-1

Also ist v2 kein Eigenvektor von B.

Comments

ja das stimmt das die Matrix so war :D

also heißt das das der Eigenvektor multipliziert mit der Matrix kein vielfaches davon sein darf?

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Der Eigenvektor multipliziert mit der Matrix muss ein Vielfaches

des Eigenvektors sein, sonst ist es kein Eigenvektor.

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ah also wäre v2 ein Eigenvektor wenn das Ergebnis v2*B  gleich (2,0) wäre?

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Genau, dann wäre es ein Eigenvektor zum Eigenwert 2.