Übungsfrage zu Determinante

Question

Hi, ich habe folgende Übungsaufgabe aber ich weiß wirklich nicht was ich bei dieser Aufgabe machen soll. Kann mir jemand bei den Lösungen weiterhelfen?  

Also die Aufgabe heißt Betrachten Sie den K-Vektorraum V = K^2x2 der 2x2 Matrizen über dem Körper K und die lineare
Abbildung

v: K^2x2 -> K^2x2 ,

A -> MA (Matrixmultiplikation)

für eine gegebene Matrix M =
(a b
c d) ∈ K^2x2
.
(a) Zeigen Sie, dass ν linear ist.
(b) Geben Sie eine Basis B für V an.
(c) Bestimmen Sie M^B_B(ν).

(d) Bestimmen Sie die Determinante von ν

Answer 1

a)  zeige  v(A+B) = v(A) + v(B) etwa so

v(A+B) = M(A+B) = MA+MB = v(A) + v(B)

und v(x*A) = M*(x*A) = x* M*A = x* v(A) .

b) B =   1  0     ,    0 1    ,   0  0     ,       0    0 
             0  0          0 0        1   0            0    1

c)   berechne v von jedem der Basisvektoren gibt 

 a   0         0    a        b   0         0   b
c    0         0    c        d   0         0   d

also die Matrix von v:

 a      0       b       0
0      a       0        b
c       0       d      0
0      c        0       d

also det = (ad-bc)²  = det(M)²