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Hallo,

wie im Titel erwähnt lautet die Aufgabe:

Sei A € M_n(K) mit n >= 1 so, dass es eine Matrix B  M_n(K) gibt mit AB - BA = A. Bestimmen Sie det(A).

 

Ich weiß absolut nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll und es wäre schön, wenn sie mir jemand vorrechnen kann oder zumindest den Weg erklärt :)


--

Nachtrag: Wir haben den Tip bekommen haben die 2.) von dieser Aufgabe zu verwenden: Sei A = (ai,j ) ∈ Mn(K) eine Matrix. Man definiert Tr(A):=a1,1 + · · · + an,n.

 In der erwähnten Aufgabe 2 steht: Die Spur von AB ist auch die Spur von BA

Gefragt von
Ich hätte vielleicht noch erwähnen sollen, dass wir den Tip bekommen haben die 2.) von dieser Aufgabe zu verwenden:

https://www.mathelounge.de/9012/sei-a-ai-j-%E2%88%88-mn-k-eine-matrix-man-definiert-tr-a-a1-1-%C2%B7-%C2%B7-%C2%B7-an-n
In der erwähnten Aufgabe 2 steht: Die Spur von AB ist auch die Spur von BA

Formal: Tr(AB) = Tr(BA)
Richtig und das sollen wir verwenden bzw. in diese Richtung denken. Ich weiß aber nicht, wie mir das weiterhelfen soll :/

1 Antwort

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Beste Antwort

Vieleicht ein Anfang? (Aber: Ich komme aber in Fall 2 zu keiner Aussage über Det(A) für beliebige n)

AB - BA = A      |     EA = A und + BA

AB = EA + BA

AB = (E+B)A                    Determinantenmult. Satz

Det(A) * Det(B) = Det(E+B)* Det(A)

1. Fall: Det (A) = 0

Wenn Det(A) = 0 ist, muss B keine spezielle Bedingung erfüllen. n kann bis hier noch beliebig sein.

2. Fall      Det (A)≠0  (Beliebig)

Ist heikler. Jetzt muss Det(B) = Det(E+B) sein. 

Ich hab mal geschaut, was bei n=3 passiert. Und gewählt:

B=  

   a b c

( d e f )

  g h i

 

B+E=  

   a+1   b   c

( d    e+1   f )

  g      h     i+1

Jetzt hab ich für beide formal die Determinante ausgerechnet und gleichgesetzt. Danach 0 auf eine Seite gebracht.

Es resultiert:

0 = gc + hf + db - ( ae + ai + ei + a + e + i + 1)

Dh. in B ist die Summe von symmetrisch zur Diagonalen liegenden Elementen ist gleich der Summe aller Kombinationen von Produkten der Länge 0 bis 3-1=2 von Diagonalelementen.  

Wenn das so ist, kann Det(A) einen beliebigen reellen Wert annehmen.

 

Beantwortet von 142 k
Hmm, also soweit komme ich nicht. Bei mir hackt es schon am Anfang. Nicht zu jeder X beliebigen Matrix A gibt es eine Matrix B mit BA - AB = A oder?

Kann mir da schon nix drunter vorstellen und bin nur am rumprobieren
Ich verstehe es auch nicht...
geht davon aus das A invertierbar ist(also det A ≠ 0) nun ein bisschen umformen und ausklammern, dann den trace nehmen da er kommutativ ist und gucken was raus kommt. hier wird ein wiederspruch entstehen und daher ist det A = 0.
kannst du mir vielleicht noch einen tip geben, was ich ausklammern und umformen soll? :) oder die lösung in kurzform? würdest mir damit sehr helfen :)

aber schonmal vielen dank
AB = A - BA AB = (In + B) A Da ich das ganze vom Handy mache ist C das inverse von A ABC = (In +B)AC = In +B Tr (ABC) = Tr (In+B)= Tr (ACB) = TR (B) Tr In + Tr (B) = Tr (B) Tr (B)= 0 Wid also A nicht invertierbar det = 0
Danke! Hat mir geholfen!

@Anonym: Wenn du eine Antwort, statt einen Kommentar eingibst, bekommst du Punkte, und deine Kollegen finden deine Rechnung einfacher.

Etwas übersichtlicher die Antwort von Anonym

AB = A - BA

AB = (In + B) A

Da ich das ganze vom Handy mache ist C das inverse von A

ABC = (In +B)AC = In +B

Tr (ABC) = Tr (In+B)= Tr (ACB) = TR (B)

Tr In + Tr (B) = Tr (B)

Tr (B)= 0

Wird also A nicht invertierbar det = 0

Ich hätte hier noch eine Frage zum letzten Schritt

Tr(In) + Tr(B) = Tr(B) heisst doch

n + Tr(B) = Tr(B)         |Tr(B) = 0 Hilft hier nichts.

n=0 ist ein Widerspruch zur Vor. n≠0

Also Det(A)≠0 führt bei dir auf einen Widerspruch. 

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