Extrema einer achsensymmetrischen Funktion in Abhängigkeit von k? f(x)= -1/9 x^4 + 4/3 kx^2 - 3

Question

f(x)=-1/9x^4 + 4/3kx^2-3

a) Berechne für k<0 Anzahl und Lage der Extrema

b) Zeige, dass für k>0 genau 1 Tiefpunkt besteht, der unabhängig von k ist ?

 c) zu jeder Funktion gibt es eine Gerade aus dem Geradenbüschel g(x)=k^2 x mit k<>0.

     Ermittle die Werte für k für die an der Stelle x=2 die Steigung der Tangente an den Graphen von f  

     parallel zu einer Geraden des Büschels ist.

Bitte Hilfe

Answer 1

f(x)=-1/9x^4 + 4/3kx^2-3
a) Berechne für k<0 Anzahl und Lage der
Extrema

f ´( x ) = -4/9 * x^3 + 8/3 * k * x
f ´ ( x ) = x * ( -4/9 * x^2 + 8 / 3 * k )

Stellen mit waagerechter Tangente
x = 0
und
-4/9 * x^2 + 8 / 3 * k = 0
-4/9 * x^2 = - 8 / 3 * k
x^2 = 72 / 12 * k
x = ± √ ( - k * 72 / 12 )
x = ± √6 * √ k
Falls k < 0 ( negativ ) ist kann keine
Wurzel gezogen werden. Jedenfalls
nicht im reellen Zahlenbereich.

f ´´ ( x ) =  -12/9 * x^2 + 8/3 * k
f ´´ ( 0) = + 8/3 k
k < 0
f ´´ ( 0 ) ist negaiv = Hochpunkt.

Wurde graphisch überprüft.