Hallo SammyWy,
Die Startzahl sei \(s\) und die Pluszahl \(p\) und die Zahl im \(i\)'ten Feld sei \(f_i\). Dann ist
$$f_1 = s$$
und
$$f_i = f_{i-1} + p$$
"Ich habe versucht, so vorzugehen: a + (a+b) + ((a+b)+b) + ..., aber das wird dann doch ziemlich lang. Hat jemand eine andere Idee, wie ich das umformulieren kann?" Die Summe \(S\) kann man rein formal so schreiben:
$$S = \sum_{i=1}^5 f_i$$
" ... habe ich die Gleichung a(Index n) = a +(n-1) * b im Internet gefunden. Jetzt verstehe ich allerdings nicht genau, für was n steht, wenn a die Startzahl und b die Pluszahl sind? Und warum wird n-1 gerechnet?" Die Gleichung für \(f_i\) ist
$$f_i = s + (i-1) \cdot p$$
probier es einfach aus. Im ersten Feld \(f_1\) ist \(i=1\). Folglich muss der Faktor vor dem \(p\) =0 sein. Es muss ja für \(i=1\) \(f_1=s\) heraus kommen. Das \(n\) oben ist demnach die Nummer des Feldes. Und mit \(n-1\) bzw. \(i-1\) wird gerechnet, weil die Zählung bei 1 (und nicht bei 0) beginnt.
"Außerdem ergeben sich nur Summen wie 45, 50, 55, 60, ... Warum kommen nur Fünferzahlen dabei raus" Mit den obigen Informationen könne wir die Summe berechnen:
$$S = \sum_{i=1}^5 f_i = \sum_{i=1}^5 (s + (i-1) \cdot p) = \sum_{i=1}^5 (s) + p \cdot \sum_{i=1}^5 (i-1)$$
Die erste Summe \(\sum_{i=1}^5 (s)\) ist \(5\cdot s\) und die zweite Summe kann man leicht umformen zu
$$\sum_{i=1}^5 (i-1) = \sum_{k=0}^4 (k) = \sum_{k=1}^4 (k) $$
und dies ist die Summe der ersten vier natürliche Zahlen. Dafür gibt es auch eine Gleichung - die Gaußsche Summenformel. Die Summe ist 10 - und damit ist der Wert für Dein \(S\)
$$S = 5 \cdot s + p \cdot 10 = 5\cdot (s + 2\cdot p)$$
Du siehst, dass die Summe immer durch 5 teilbar ist. Soll nun \(S=50\) sein, so muss \(s+2\cdot p = 10\) oder eben \(s= 10-2\cdot p\) sein
