ln(|ln(x)|) auf differenzierbarkeit prüfen

Question

Ich soll die Funktion f(x) = ln(Iln(x)I)    (also ln vom betrag vom ln(x))    auf differenzierbarkeit prüfen. Für x=1 ist die Funktion nicht diffbar u. nicht definiert. Ich will mir nur noch klar machen, wie ich die Differenzierbarkeit von x<1 und x>1 nachweisen kann.

Ich habe es mit dem Differentialquotienten und der h-Methode probiert, aber nach dem Einsetzen bleibe ich stehen, da ich nicht weiß, wie ich weiter umformen kann :/

Ich freue mich über jede Hilfe!! :)

Answer 1

Hallo Mathlete,

die Funktion f hat den Definitionsbereich  D = ]0,∞[ \ {1}

Man kann sie betragsfrei schreiben und abschnittsweise ableiten:

f(x) =  (    ln(ln(x))    für x >1

          (    ln(-ln(x))  für x < 1

Da ln(x) in D diff'bar ist, ist auch f als Komposition differenzierbarer Funktionen in D differenzierbar

f ' (x)  = 1 / (x·LN(x))

Gruß Wolfgang