Grenzwerte von Reihen bestimmen

Question

ich lerne momentan für die Analysis Prüfung und habe noch Schwierigkeiten beim berechnen von Grenzwerten bei Reihen. Ich sehe hier oft keinen Anfang und würde mich über allgemeine Hinweise diesbezüglich freuen, wie ich derartige Aufgaben am besten angehe.

Nun zur Aufgabe:

$$  \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { 5 }^{ n }+{ 6 }^{ n } }{ { 9 }^{ n } }  }   $$

Mit WolframAlpha erhalte ich hier einen Grenzwert von $$ \frac { 21 }{ 4 } $$

$$ \lim _{ n->\infty  }{  \sum _{ k=1 }^{ n  }{ \frac { 1 }{ \sqrt { { n }^{ 2 }+k }  }  } }$$

mfg Stanley

Answer 1

Zunächst für die obige Reihe:

9ⁿ wächst am schnellsten von dem gesamten Bruch, also schreibe den Bruch folgendermaßen um:

∑i=0 bis unendlich (9ⁿ(5ⁿ+6ⁿ)/9^n) / 9^n = ∑i=0 bis unendlich (5^n+6^n)/9^n)

Ziehe die Reihen auseinander:

∑i=0 bis unendlich (5/9)^n + ∑i=0 bis unendlich (6/9)^n

Und jetzt solltest du dich an die geometrische Reihe erinnern:

1/(1-(5/9)) + (1/(1-(6/9)) = 1/(4/9) + 1/(3/9) = (36/12) + (27/12) = (63/12) = (21/4)