Uniforme Verteilung Arztbesuch - Wahrscheinlichkeit

Question

Folgendes Problem:

Zwei Personen gehen jeweils zu einer zufälligen Zeit zwischen 3 und 5 Uhr zum Arzt und haben jeweils eine Behandlungszeit von 30 Minuten. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Patienten warten muss, wenn sonst keine Patienten zum Arzt gehen.

Der Ansatz läuft nun über ein den Flächeninhalt alle möglichen Ereignisse im Rechteck [3,5] x [3,5]. Setzen wir x:Erster Patient(Uhrzeit) y:Zweiter Patient(Uhrzeit) , dann ergeben sich als mögliche Gegenereignisse (x,y) mit |x-y| >1/2  und  x,y im Intervall [3,5]

gezeichnet sieht das ganze dann so aus:

 

Die Wahrscheinlichkeit bestimmt sich nun aus: Fläche des Ereignisses / Gesamtfläche([3,5]x[3,5]) .

EDIT: Keine Fehler in der Rechnung. ( 1 - oben gezeichnete Fläche ) = Fläche des Ereignis.

Answer 1

Ich hätte das wie du gemacht. Das gezeichnete ist ja das Gegenereignis. Also die Wahrscheinlichkeit das keiner Warten muss.

Die Wahrscheinlichkeit das jemand warten muss berechnet sich dann aus

1 - 1.5^2/2^2 = 7/16

Das jemand warten muss sieht dann so aus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+3<x<5;3<y<5;%7Cx-y%7C<0.5

Das lässt sich aber deutlich schwerer berechnen, warum man mit dem Gegenereignis rechnen sollte.

Comments

Ah ich sehe es, hab die Gegenwahrscheinlichkeit von dem oben gezeichneten nicht bestimmt, logisch, dass dann was anderes raus kommt, danke :D