Lagrange-Optimierung: Wie rechne ich diese Aufgabe weiter?

Question

 

 

Ich habe durch folgende Nebenrechnung dann sowohl für v^2/3 als auch für p^1/3 Lampda als Ergebnis erhalten. Somit kann man auch die Gleichung v^2/3 = p^1/3 aufstellen und dadurch p = v^1/3. Ich kann allerdings mit diesen Ergebnissen gerade nichts anfangen und frage mich ob ich einen Fehler gemacht habe.

Allgemein zum Thema Lagrange:

Nachdem man Zielbedinung, Nebenbedingung und Lagrangefunktion aufgestellt hat und alle Argumente partiell abgeleitetet hat - welche Schritte folgen dann? Ich habe in meinem Script stehen dass die folgenden Schritte dann immer diese sind:

I.)  Die partiellen Ableitungen nach den Variablen auflösen

II.) Die aus I.) errechneten Werte der Variablen in die Nebenbedinung einsetzen (und da sie identisch sind, da alle gleich null, kann man diese Gleichung so aufstellen dass man nur eine Variable darin stehen hat). Stimmt das so oder habe ich dies falsch interpretiert?

Answer 1

Warum denke ich wohl, dass die Nebenbedingung in zweierlei Hinsicht nicht korrekt ist.

p^{1/3} + v^{2/3} = 30

Denkt mal darüber nach.

Eine Kontroll-Lösung

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+p%5E(1%2F3)*q%5E(2%2F3)+with+p+%2B+q+%3D+30000

max{p^{1/3} q^{2/3}|p + q = 30000} = 10000 2^{2/3} at (p, q) = (10000, 20000)

Comments

3 - p - v lautet die richtige Nebenbedingung.

Answer 2

> und alle Argumente partiell abgeleitetet hat

Setze dann die Ableitungen = 0.

Dann hast du ein Gleichungssystem. Löse es.

> Ich kann allerdings mit diesen Ergebnissen gerade nichts anfangen

Du hast noch eine partielle Ableitung, die du bis jetzt noch nicht verwendet hast.

Comments

Wie löse ich ein Gleichungssystem das mehrere Variablen mit Exponenten enthält auf?

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So wie jedes andere Gleichungssystem:

1. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
2. In alle anderen Gleichungen einsetzen.
   
3. Wiederholen so lange noch nicht alle Variablen bekannt sind.

Answer 3

Hallo Orangedrop,

"... und frage mich ob ich einen Fehler gemacht habe" Ja, ganz am Anfang beim Aufstellen der Nebenbedingung. Die Nebenbedingung ist doch, dass die Summe aus Park- und Verkaufsfläche die Gesamtfläche von 3ha ist:

$$N: \space p + v - 3\cdot10^4 \text{m}^2 = 0$$ Demnach ist die Lagrange-Geleichung:

$$L(p,v,\lambda) = p^{\frac13} \cdot v ^{\frac23} + \lambda(p + v - 3\cdot10^4 \text{m}^2)$$ Deine Vorgehensweise ist grundsätzlich richtig

$$\frac{\text{d}L}{\text{d}p} = \frac13 p^{-\frac23} \cdot v^{\frac23} + \lambda = 0$$ $$\frac{\text{d}L}{\text{d}v} = \frac23 p^{\frac13} \cdot v^{-\frac13} + \lambda = 0$$ nach Isolieren und Einsetzen von \(\lambda\):

$$ \frac13 p^{-\frac23} \cdot v^{\frac23} - \frac23 p^{\frac13} \cdot v^{-\frac13}  = 0 \quad \left| \cdot 3 \cdot p^{\frac23} \cdot v^{\frac13}\right.$$ $$v - 2p = 0$$ Einsetzen von \(p\) aus der Nebenbedingung

$$v - 2(3\cdot 10^4 \text{m}^2 - v) = 0 \quad \Rightarrow v = 2\cdot 10^4 \text{m}^2$$ Den Rest schaffst Du sicher allein.

Gruß Werner

Comments

Nun, für v erhalte ich 2ha und für p 1ha.

Wenn ich dann

1.) Die Werte von p und v in die partielle Ableitung nach Lampda einsetze, erhalte ich 0.

2.) Die Werte von p und v in die Zielfunktion einsetze erhalte ich 1,2955.

Ich weiß es nicht, aber ich denke dass das nicht sein kann.

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"Die Werte von p und v in die partielle Ableitung nach Lampda einsetze, erhalte ich 0." das muss auch so sein, sonst wären die Werte kein lokales Extremum.

"Die Werte von p und v in die Zielfunktion einsetze erhalte ich 1,2955." Wenn ich es einsetze, so erhalte ich:

$$\begin{aligned} N(p=1\text{ha},v=2\text{ha}) &= \left(1\text{ha}\right)^{\frac13} \cdot \left(2\text{ha} \right)^{\frac23}\\ &\approx 1,58740105 \text{ha} = 15874,0105 \text{m}^2 \end{aligned}$$

Du hast \(v=2\text{ha}\) mit \(\frac13\) potenziert, statt mit \(\frac23\)