Optimierung einer Funktion, Lagrange

Question

Aufgabe:

Geben ist folgendes Optimierungsproblem:
f(x,y)=3x² +6y² s.t. 2916=9x² +36y²
Bestimmen Sie bitte alle vier möglichen Kombinationen aus x,y und λ , welche die Bedingung 1. Ordnung erfüllen, und überprüfen Sie mit der Bedingung 2. Ordnung, ob diese Kombinationen bei Berücksichtigung der Restriktion Minima oder Maxima der Funktion sind.


Problem/Ansatz.

Ich habe bis zu folgendem Punkt gerechnet. Ist das soweit korrekt? Wie Kann ich danach weiterrechnen? vielleicht in eine Hesse Matrix packen?

0=9x² +36y² -2916

L(x,y,λ)=f(x,y)+λg1(x,y)

          =3x² +6y² +λ(9x² +36y² -2916)

Nach x Abgeleitet (18λ+6)x

Nach y                  (72λ+12)y

nach λ                  NB

Bei nullsetzen von der ableitung nach x  0=    für x=0 oder λ=-1/3

                                                    nach y 0=      für y=0, λ=-1/6

Comments

Geben ist folgendes Optimierungsproblem:
(,)=32+6² s.t. 2916=92+36²

Die Lösung ist (,) mit   wobei du berücksichtigen musst dass  (,) auch &}³3§ erfüllen muss.

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tippfehler aktualisiert

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tippfehler aktualisiert

Flunkere doch nicht. Du hast nichts getippt, sondern per Copy&Paste irgendwelche Passagen hier reinkopiert, die statt Symbolen Grafiken enthielten.

Hier hast du übrigens immer noch nichts korrigiert:

Bestimmen Sie bitte alle vier möglichen Kombinationen aus , und , welche

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jo hatte die aufgabe natürlich reinkopiert, da sollte natürlich x,y und lambda stehen

hatte die zweite nicht gesehen sorry dafür :)
Ich wäre natürlich für Hilfe trotzdem sehr dankbar!

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Mal sehen, was passiert: Entweder, es findet sich jemand, der barmherzigerweise deinen verstümmelten Murks übersetzt und auch noch löst, oder die Community lässt dich verhungern, bis du die KOMPLETTE Aufgabe lesbar aufgeschrieben hast.

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Ich kann den Ursprungspost leider nicht mehr bearbeiten, daher hier neu.

Aufgabe:

Geben ist folgendes Optimierungsproblem:
f(x,y)=3x² +6y² s.t. 2916=9x² +36y²
Bestimmen Sie bitte alle vier möglichen Kombinationen aus x,y und λ , welche die Bedingung 1. Ordnung erfüllen, und überprüfen Sie mit der Bedingung 2. Ordnung, ob diese Kombinationen bei Berücksichtigung der Restriktion Minima oder Maxima der Funktion sind.


Problem/Ansatz.

Ich habe bis zu folgendem Punkt gerechnet. Ist das soweit korrekt? Wie Kann ich danach weiterrechnen? vielleicht in eine Hesse Matrix packen?

0=9x² +36y² -2916

L(x,y,λ)=f(x,y)+λg1(x,y)

          =3x² +6y² +λ(9x² +36y² -2916)

Nach x Abgeleitet (18λ+6)x

Nach y                  (72λ+12)y

nach λ                  NB

Bei nullsetzen von der ableitung nach x  0=    für x=0 oder λ=-1/3

                                                    nach y 0=      für y=0, λ=-1/6

War wirklich absolut nicht nachvollziehbar, sorry dafür.

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Vom Duplikat:

Titel: Optimierung von 2 Variablen mit NB

Stichworte: nebenbedingung,optimierung

Aufgabe: Hier noch einmal die aufgabe komplett und lesbar ;)

Geben ist folgendes Optimierungsproblem:
f(x,y)=3x² +6y² s.t. 2916=9x² +36y²
Bestimmen Sie bitte alle vier möglichen Kombinationen aus x,y und λ , welche die Bedingung 1. Ordnung erfüllen, und überprüfen Sie mit der Bedingung 2. Ordnung, ob diese Kombinationen bei Berücksichtigung der Restriktion Minima oder Maxima der Funktion sind.


Problem/Ansatz.

Ich habe bis zu folgendem Punkt gerechnet. Ist das soweit korrekt? Wie Kann ich danach weiterrechnen?

0=9x² +36y² -2916

L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x,y)

          =3x² +6y² +λ(9x² +36y² -2916)

Nach x Abgeleitet (18λ+6)x

Nach y                  (72λ+12)y

nach λ                  9x² +36y² -2916

Bei nullsetzen von der ableitung nach x  0=    für x=0 oder λ=-1/3

                                                    nach y 0=      für y=0, λ=-1/6

Ich wäre für Änsätze sehr dankbar!

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Bitte Duplikate vermeiden. Ist nun in der Frage alles so zu sehen, was du haben wolltest? (Habe deinen Kommentar kopiert und würde noch den weissen Teil entfernen)

https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus Tipp: "Lagrange" enthält zwei g . 

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es passt nun so! :) Dankeschön

Answer 1

Hallo,

es wurde ja schon in der Aufgabe erwähnt, dass es vier Fälle gibt. Du bekommst mit Nullsetzen der Ableitungen $$\frac{\partial L}{\partial x} = 6x + 18 \lambda x = 0 \implies  x(1+3\lambda) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 12y + 72 \lambda y = 0 \implies y(1+6\lambda) = 0$$Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Setze zunächst  \(x \ne 0\), dann ist$$ \lambda = - \frac 13, \quad y=0 $$damit sind beide Gleichungen erfüllt. Einsetzen von \(y=0\) in die Nebenbedingung$$ 9x^2 +36 \cdot 0^2 - 2916 = 0 \implies x_{1,2} = \pm 18$$womit bereits zwei Lösungen vorliegen und im Falle von \(x=0\) ist \(\lambda = -1/6\) und $$9\cdot 0^2 +36 y^2 - 2916 = 0 \implies y_{3,4} = \pm 9$$So und nun noch die zweiten Ableitungen bestimmen und in die Hessematrix einsetzen.

Welchen Typ Hessematrix sollt Ihr benutzen? Die originale oder die geränderte?

Setzt man die zwei Lösungen \(y=0\), \(x_{1,2}=\pm 18\) in die geränderte Hessematrix ein, so erhält man $$\overline H(x = \pm 18;\, y=0;\, \lambda = -\frac 13) = \begin{pmatrix}0& \pm 324& 0\\ \pm 324& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{pmatrix} \\ \det(\overline H) = 104976$$hier liegt also in beiden Fällen ein Maximum vor, da \(\det(\overline H) \gt 0\).

Das deckt sich mit dem Ergebnis aus Wolfram Alpha:

Gruß Werner

Comments

wir haben die geänderte schon behandelt also gehe ich wohl davon aus dass es auf die geänderte hinausläuft, bzw. "mit rand"

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@: es passt nun so! :) Dankeschön

Gut. Bist du hier nun auch schon fertig?

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Ich hätte noch eine Frage, welche jetzt genau die 4 Kombinationen sind?

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... welche jetzt genau die 4 Kombinationen sind?

steht oben in der Antwort. Hier nochmal in Tabellenform $$\begin{array}{rrr}x& y& \lambda\\ \hline 18& 0& -\frac 13\\ -18& 0& -\frac 13\\ 0& 9& -\frac 16\\ 0& -9& -\frac 16\end{array}$$