Aufgabe aus einer Probeklausur: Zeigen, ob F linear ist.

Question

Huhu,

ich benötige bei der folgenden Aufgabe mit der Musterlösung eine Erklärung.

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung $$F:M(3,\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}^3\\A\longmapsto det(a)\cdot A_1,$$ wobei A₁ die erste Spalte von A bezeichnet. Ist F linear?

Musterlösung:

Nein. Ist E₃ ∈ M(3,ℝ) die Einheitsmatrix, so ist F(2E₃) ≠ 2F(E₃).

Wie erkenne ich diese Antwort und zeige es dementsprechend?

Beste Grüße

Cellrok

Answer 1

wenn man gar keinen Plan hat , dann setzt man ein paar einfache Beispiele ein und überprüft manuel daran, ob die Abbildung linear. Einfach ist z.B A=2*E

Da dies nicht passt, bist du fertig. Wenn es gepasst hätte, dann prüfst du noch ein zwei Beispiele und überlegst dann wie man einen Beweis zusammenschustern kann ;)

Comments

 

könntest du mir einmal sagen was das überhaupt bedeutet: 

F: M(3,ℝ)→ℝ3

A⟼det(a)⋅A1

wobei A1 die erste Spalte von A bezeichnet? 

Die Abbildung heißt F. Und dann wird eine Menge M oder eine Matrix (?) auf den R3-Raum abgebildet? Und dann haben wir eine Matrix A, die abgebildet wird, indem man die Determinante von A mit der ersten Spalte von A multipliziert? 

 

LG

---

M(3,R)

ist die Menge der 3x3 Matrizen mit reellen Einträgen. Dies sind die Argumente deiner Funktion. Hier allgemein als Matrix A bezeichnet.

Der Funktionswert ist

det(A)*A_1

det(A) ist eine Zahl

A_1 ist die erste Spalte der Matrix, also ein Vektor des R³

Deshalb bildet die Funktion in den R³ ab.

---

Alles klar, verstanden! Vielen Dank :)

Und wenn ich jetzt A = 2*E einsetze, wofür steht dann das E ? Die Einheitsmatrix? 

Answer 2

> Wie erkenne ich diese Antwort

Rechenregeln für Determinanten, zum Beispiel det(r·A) = rⁿ det(A).

> und zeige es dementsprechend

Einsetzen.