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Huhu,

ich benötige eine Erklärung zur folgenden Aufgabe mit der Musterlösung.

Aufgabe:

Man finde folgendes:

(a)FindenSieeineMatrixAM(2×3,R),sodassdet(AAT)0,aberdet(ATA)=0ist.(b)GebenSieeinelineareAbbildungf : R2R3mitrang(f)>0an,diewederinjektivnochsurjektivist.(c)FindenSieeinenUnterraumvon(F2)4,der4Elementeentha¨lt.(a)\,Finden\:Sie\:eine\:Matrix\:A\in\,M(2\times3,\mathbb{R}),\:sodass\:det(A\cdot A^T)\,\neq\,0,\:aber\:det(A^T \cdot A)\,=\,0\:ist.\\(b)\:Geben\:Sie\:eine\:lineare\:Abbildung\:f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3\:mit\:rang(f)\,>\,0\:an,\:die\:weder\:injektiv\:noch\:surjektiv\:ist.\\(c)\:Finden\:Sie\:einen\:Unterraum\:von\:(\mathbb{F_2})^4,\:der\:4\:Elemente\:enthält.

Musterlösung:

(a)EineMo¨glichkeitwa¨rea=(100010).(b)EinBeispielwa¨ref : R2R3,(x,y)T(x,0,0)T.(c)Einmo¨glicherUnterraumvon(F2)4wa¨rez.B.U=(1000),(0100)={(1000),(0100)(1100),(0000)}.(a)\:Eine\:Möglichkeit\:wäre\:a\,=\,\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}.\\(b)\:Ein\:Beispiel\:wäre\:f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3,\:(x,y)^T\longmapsto(x,0,0)^T.\\(c)\:Ein\:möglicher\:Unterraum\:von\:(\mathbb{F_2})^4\:wäre\:z.B.\:U\,=\,\langle \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \rangle\,=\,\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \}.

Ich weiß leider nicht wie ich zu dieser Musterlösung komme. Kann mir hier jemand mit Erklärungen helfen?

Beste Grüße und vielen Dank

Cellrok

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a) A ist eine 2x3-Matrix, also ist diese in folgender Form A=(a11a12a13a21a22a23)A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix} Dann haben wir folgende Matrizen AAT=(a11a12a13a21a22a23)(a11a21a12a22a13a23)=(a112+a122+a132a11a21+a12a22+a13a23a11a21+a12a22+a13a23a212+a222+a232)A\cdot A^T=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13}& a_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2 & a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23} \\ a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23} & a_{21}^2+a_{22}^2+a_{23}^2\end{pmatrix}
ATA=(a11a21a12a22a13a23)(a11a12a13a21a22a23)=(a112+a212a11a12+a21a22a11a13+a21a23a11a12+a21a22a122+a222a12a13+a22a23a11a13+a21a23a12a13+a22a23a132+a232)A^T\cdot A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13}& a_{23}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2 & a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22} & a_{11}a_{13}+a_{21}a_{23} \\ a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22} & a_{12}^2+a_{22}^2 & a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23} \\ a_{11}a_{13}+a_{21}a_{23} & a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23} & a_{13}^2+a_{23}^2\end{pmatrix}

Sodass det(A·AT ) ≠ 0 muss die Matrix A·AT keine Nullzeile oder Nullspalte haben. Sodass det(A·AT ) = 0 muss die Matrix A·AT eine Nullzeile oder eine Nullspalte haben. Wenn wir zum Beispiel annehmen dass die dritte Spalte eine Nullspalte ist dann muss folgendes gelten a11a13+a21a23=0a12a13+a22a23=0a132+a232=0a_{11}a_{13}+a_{21}a_{23}=0 \\ a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23}=0 \\ a_{13}^2+a_{23}^2=0 Von der dritten Gleichung bekommen wir a13 = a23 = 0. Die Elemente a11, a21, a12, a22 kann man beliebig wählen, man muss nur aufpassen dass die Matrix A·AT keine Nullspalte oder Nullzeile bekommt. Zum Beispiel kann man folgende Werte wählen a11=1,  a12=0,  a21=0,  a22=1a_{11}=1, \ \ a_{12}=0, \ \ a_{21}=0, \ \ a_{22}=1 Somit bekommen wir die Matrizen AAT=(1001)   und   ATA=(100010000)A\cdot A^T=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \ \ \text{ und } \ \ A^T\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0\end{pmatrix} 


b) Es gilt dass f(x,y) = f(x,-y), somit ist die Abbildung nicht injektiv. Es gilt dass (1, 1, 1) ∈ ℝ3 aber (1, 1, 1) ∉ Bild(f), somit ist die Abbildung nicht surjektiv. 


c) (F2)4 enthält 16 Elemente: {(0000),(1000),(0100),(0010),(0001),(1100),(1010),(1001),(0110),(0101),(0011),(1110),(1101),(1011),(0111),(1111)}\left \{ \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right \} Wir wollen jetzt einen Unterraum bestimmen das aus 4 von diesen Vektoren entsteht.

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