Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen

Question

ich versuche gerade, eine Funktion auf Differenzierbarkeit zu überprüfen. Ich komme auch auf das richtige Ergebnis, wenn ich das richtig sehe, nur mit einem "falschen Zwischenergebnis". Ich lad euch meine Rechnungen einfach mal als Screenshot hoch.

Woran erkenne ich jetzt, dass die links bzw. rechtsseitige Ableitung jeweils nicht existiert? Ich hab die doch sozusagen schon ausgerechnet, oder nicht?

Mir ist auch klar, dass die Funktion nicht differenzierbar ist, da sie nicht stetig ist.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
LG

Answer 1

Mir ist auch klar, dass die Funktion nicht differenzierbar ist, da sie nicht stetig ist.

Genau, deshalb musst du hier auch eigentlich nichts rechnen.

Jetzt habe ich einfach f_+'(-2)=... und f_-'(-2)=... ausgerechnet.

Das funktioniert nicht. Du hast damit den rechts bzw. linsseitigen Grenzwert der Funktion f'(x) berechnet, das ist aber ganz was anderes. Um erstmal zu untersuchen, ob f in x=-2 diffbar ist, nimmst du die Definition:

$$ f'(-2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} $$

Dann siehst du: weil die Funktion unstetig ist, ergibt sich für den linksseitigen Grenzwert im Zähler keine 0 im Grenzwertprozess, im Nenner hingegen schon. Also existiert die Ableitung dort nicht.

Comments

Danke erstmal für die Antwort :)

Das klingt jetzt wahrscheinlich blöd, aber woran seh ich, dass für den linksseitigen Grenzwert keine 0 im Zähler kommt, aber beim rechtsseitigen schon?

Wird es ungleich null da (f-2+h) = e^-x+h ist und das ungleich f(-2) ist?

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Für den linksseitigen Grenzwert ist einzusetzen:

f(x)=e^{-x}

nun ist lim h --> 0 f(-2+h)-f(-2)= e^{2}-10 ≠0

Für den rechtsseitigen Grenzwert ist einzusetzen:

f(x)=5x und da kommt dann 10-10=0 im Zähler raus

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Aaaaah,für f(-2) gilt dann ja die "zweite Gleichung" oder? Also 5x =-10 oder?

Aber müsste dann im Zähler nicht  e^2 - (-10) stehen? Also das ist ja offensichtlich immer noch ungleich 0, oder hab ich da jetzt einen noch dämlicheren fehler gemacht? 

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Aaaaah,für f(-2) gilt dann ja die "zweite Gleichung" oder? Also 5x =-10 oder?

Genau.

Aber müsste dann im Zähler nicht  e2 - (-10) stehen? Also das ist ja offensichtlich immer noch ungleich 0, oder hab ich da jetzt einen noch dämlicheren fehler gemacht?

Da hast du keinen Fehler, ich habe ein Minus dort vergessen ;) .

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Du weißt gar nicht, wie glücklich ich grad bin, dass zu verstehen :D

Danke für deine Hilfe!