Polynomfunktion aufsuchen 3.Grades

Question

Eine Funktion dritten grades hat den Wendepunkt W (1/-1) und im punkt P (2/-1) den anstieg k=2

Answer 1

Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d, f '(x)=3ax²+2bx+c;  f ''(x)=6ax+2b

Wendepunkt W (1/-1) führt zu (1) -1=a+b+c+d und (2) 0= 6a+2b

Im Punkt P (2/-1) den anstieg k=2 führt zu (3) -1=-8a+4b+2c+d und (4) 2=12a+4b+c

Das sind 4 Gleichungen mit vier Unbekannten, von denen ich annehme, dass du sie lösen kannst.

Answer 2

Eine Funktion dritten Grades hat den Wendepunkt W (1|-1) und im Punkt P (2|-1) den Anstieg k=2

Da die y-Werte von P und W gleich sind, verschiebe ich die um 1 Einheit nach oben. Somit ist an den Stellen x=1 und x=2 eine einfache Nullstelle.

Linearfaktorenform:

\( f(x)=a(x-1)(x-2)(x-N)=a(x^2-3x+2)(x-N)=a(x^3-Nx^2-3x^2+3Nx+2x-2N)\)

Wendepunkt W (1|-1).   →2. Ableitung

\( f'(x)=a(3x^2-2Nx-6x+3N+2)\)

\( f''(x)=a(6x-2N-6)\)

\( f''(1)=a(6-2N-6)=0\)

\(N=0\)

\( f'(x)=a(3x^2-6x+2)\)

Anstieg k=2  → 1.Ableitung

\( f'(2)=a(12-12+2)=2\)

\( a=1\)

\( f(x)=x(x-1)(x-2)\)

...1 nach unten.

\(p(x)=x(x-1)(x-2)-1\)