Imaginärteil /Realteil Konvergenz

Question

Ich habe eine allgemeine Frage zu der ich im Internet keine wirkliche Antwort finde. Wenn ich eine komplexe Zahl auf Konvergenz untersuchen will, kann ich mir ja entweder den Betrag anschauen und schauen, ob der konvergiert, oder wir Real- und Imaginärteil anschauen. Was mache ich aber, wenn ich sehe, dass mein Re(z) z.B. gegen 1 und beim Im(z) gegen 2 konvergiert? Im Internet habe ich immer nur gesehen, dass der Im(z) gegen 0 konvergiert und damit dann die ganze Folge gegen den Grenzwert meines Realteils.

Ich hoffe ihr versteht mein Problem.

Schon mal vielen Dank :)

Answer 1

komplexe Zahl auf Konvergenz untersuchen

Zahl ist Zahl, da konvergiert nix. Folgen oder Funktionen koennen konvergieren.

Betrag anschauen und schauen, ob der konvergiert

So wie bei \((1,\,-1,\,1,\,-1,\,\ldots)\) etwa?

ich sehe, dass mein Re(z) z.B. gegen 1 und beim Im(z) gegen 2 konvergiert

Konvergenz im Komplexen ist das Gleiche wie Konvergenz von Real- und Imaginaerteil:

$$z_n\to\zeta\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{Re}z_n\to\operatorname{Re}\zeta\quad\wedge\quad\operatorname{Im}z_n\to\operatorname{Im}\zeta$$

Wenn Du also das in Deinem Beispiel gesehen hast, ist der Grenzwert \(1+2i\).