Kugel, Kugelgleichung, Vektoren

Question

Hey! Ich habe ein Problem bei einem Mathe- Beispiel und wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe!!

Eine Kugel K wird von oben von einer punktförmigen Lichtquelle L beleuchtet. Das abgebildete Koordinatensystem wurde so gelegt, dass der Berührungspunkt der Kugel am ebenen Boden genau dem Koordinatenursprung entspricht und die Lichtquelle genau auf der z- Achse liegt.
Berechne den Radius des kreisförmigen Schattens, der entsteht.

zusätzliche Angaben: Mittelpunkt der Kugel M=(0|0|6), Radius der Kugel r=6, Kugelgleichung k: x^2+y^2+(z-6)^2=36  Kugelgleichung, Vektoren

Comments

wurden die Koordinaten von L mit (0,0,20) vorgegeben?

Answer 1

Strecke ML = 14

Strecke ME = p = 2,57 kann man mit dem Kathetensatz berechnen.

⇒ E(0|0|8,57)

mit dem Satz des Pythagoras kann man die Strecke EB = 5,42 berechnen.

⇒ B (5,42|0|8,57)

Die Geradengleichung durch diese beiden Punkte ergibt:

g: (0|0|20) + r(5,42|0|-11,43)

Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu berecnen, berechnet man das Gleichungssystem

$$ \begin{pmatrix} 0\\0\\20 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 5,42\\0\\-11,43 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\0\\0 \end{pmatrix} $$

Daraus ergibt sich x = 9,48, was auch der Radius des Schattenkreises ist.

Gruß, Silvia

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Comments

Dankeschööön!! Hätte nur noch eine Frage und zwar: Kann man auch anders als mit dem Kathetensatz auf die Strecke p kommen?

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Mir fällt spontan keine andere Möglichkeit ein, aber ich werde darüber nachdenken...

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Du kannst den Winkel bei M im Dreieck BLM (blau) mit dem Cosinus berechnen:

$$ cos(α)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}= \frac{6}{14} ⇒ α = 64,62°$$

Auf die gleiche Weise berechnest du dann p = Ankathete im kleinen rechtwinkligen Dreieck (rot)

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Danke du warst mir eine große Hilfe!!

Answer 2

Gleichung eines der Lichtstrahlen ist

        z = mx + 20.

Gleichung des Kreises ist

        x² + (z-6)² = 36

womit die Gleichung des oberen Halbkreises

        z = √(36 - x²) + 6

lautet.

Der Lichtstrahl ist eine Tangente des Kreises. Lichtstrahl und Keis haben also nur einen Punkt gemeinsam.

Gemeinsame Punkte von Kreis und Lichtstrahl bekommt man durch Gleichsetzen:

        mx + 20 = √(36 - x²) + 6

was zu den Lösungen

        x = (-14m ± 2√(9m²-40)) / (m² + 1)

führt. Diese zwei Lösungen sind identisch, wenn

        9m²-40 = 0

ist. In diesem Fall gibt es also nur einen gemeinsamen Punkt von Gerade und Kreis. Umformen liefert

        m = ±(√40)/3.

Einsetzen einer dieser Lösungen in die Geradengleichung liefert

        z = (√40)/3x + 20.

Der Boden hat z = 0. Lösung der Gleichung

        0 = (√40)/3x + 20

ist also der Radius des Schattens.