Dimension des Vektorraums/ aller Translationen in R^3 berechnen

Question

ich habe in 2 Tagen eine Prüfung in linearer Algebra und habe bei einem alten Test diese Frage gefunden (Siehe Bild). Ich verstehe nicht warum die Lösung A ist. Wie kann es sein dass der Vektorraum aller 5x5 Matrizen mit einer Nullspalte die Dimension 20 hat? Ist die Dimension des Vektorraums nicht die Anzahl der Elemente einer Basis und somit 4? Und wie berechne ich die anderen beiden Dimensionen von V und W?

Answer 1

Wie kann es sein dass der Vektorraum aller 5x5 Matrizen mit einer Nullspalte die Dimension 20 hat?

es bleiben 20 möglicherweise von 0 verschiedene Einträge übrig. Jeder davon kann z.B. 1 

und alle anderen 0 sein.  Also gibt es 20 "Basisvektoren" (Das sind diese Matrizen.

z.B. ist eine Basis des VR der 2x2 Matrizen ja auch 

00       10       01         00
10       00       00         01

Translationen in ℝ^3 entsprechen den Elementen von ℝ^3 also dim=3.

Eine homogene lineare Gleichung mit 4 Variablen hat ja als Lösungen alle

4-Tupel, bei denen man drei Variablen frei wählt und damit die 4. bestimmt. Hier etwa

         x2=r   x3=s     x4=t  gibt   x1 = r - 3s -t  also sind die Lösungen

( r - 3s -t   ; r ; s ; t ) 

= r*(1;1;0;0) + s*(-3;0;1;0) + t*(-1;0;0;1)  

offenbar ein 3-dim-Unterraum von R^4.