Gleichungssystem lösen mit freiem Parameter und 2 Unbekannten

Question

Aufgabe:

Begründe, für welche Werte des Parameters \( \vartheta \) das Gleichungssystem

$$ \begin{aligned} \chi +\vartheta \psi &= 1 \\ (2-\vartheta) \chi+\psi &= 1 \end{aligned} $$

in den Unbekannten \( \chi, \psi \) lösbar ist und bestimme ggf. die Lösungsmenge.

Answer 1

grundsätzlich gilt: Es ist für alle \( \vartheta \) lösbar. Nur für wenige, voraussichtlich zwei \( \vartheta \), ist die Lösung nicht eindeutig, sprich existieren ganze Geraden von Lösungen.

Die Lösungen sind eindeutig, wenn die beiden Zeilen linear unabhängig sind. Wir suchen also nach den Parametern \( \vartheta \), für die die beiden Zeilen linear abhängig sind:

Dies gilt für alle \( \vartheta \), die die Gleichung \( 1 - (2- \vartheta) \vartheta \) lösen. Diese entspricht der Determinante der Matrix, die dieses zweidimensionale Gleichungssystem beschreibt. Ist diese Null, so sind die Zeilen linear abhängig. Dies gilt hier günstigerweise, weil die Inhomogenitäten auf der rechten Seite übereinstimmen.

Wir suchen also die Nullstellen der quadratischen Gleichung:

\( \vartheta^2 - 2 \vartheta + 1 \).

Diese lauten gemäß p-q-Formel:

\( \vartheta_1 = 1 = \vartheta_2 \).

Mit anderen Worten gibt es eine zweifache Nullstelle bei \( \vartheta = 1 \).

Das Gleichungssystem hat also für alle \( \vartheta \in \mathbb{R} : \vartheta \neq 1 \) eine eindeutige Lösung und bei \( \vartheta = 1 \) eine eindimensionale Lösungsmenge.

MfG

Mister

Comments

danke einmal für deine schnelle antwort. aber wie muss ich hier umformen, damit ich auf die Gleichung kommen, wo ich dann die pq formel anwenden kann?

---

Die quadratische Gleichung entsteht aus

\( 1 - (2- \vartheta) \vartheta = \vartheta^2 - 2 \vartheta + 1\).

Die Diskrimante ist offenbar Null:

\( \frac{p^2}{4} - q = 1 - 1 = 0 \).

Daher ist die Nullstelle zweifach. Du kannst dies auch überprüfen, indem du \( p \) ( \( p = -2 \) ) und \( q \) ( \( q = 1\) ) in die p-q-Formel einsetzt.

PS: Deine Verwirrung entsteht vielleicht, weil eine quadratische Gleichung in \( \vartheta \) und nicht in \( x \) vorliegt. Dies ändert aber nichts an den Lösbarkeitseigenschaften der Gleichung. Es handelt sich nur um einen anderen Buchstaben.