Exponentialfunktion f(x) = 2x * e^-x .Kurventangente im Ursprung und Verhalten im Unendlichen?

Question

Matheproblem

Gegeben ist die Exponentialfunktion f(x) = 2x * e^-x

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Kurventangente im Ursprung 

B) wie verhalten sich die Funktionen für x strebt zu + Unendlich und - Unendlich 

Bitte helft mir sitze gefühlt seit Stunden dran.  

Answer 1

Hallo Max,

f(x) = 2x · e^-x 

f '(x) =  2 · e^-x · (1 - x)   ,  mit der Produktregel  [ u · v ] '  = u ' · v + u · v ' 

        [2x · e^-x ] ' =  2 · e^-x  +  2·x · (-1) · e^-x   =_ausklammern  2 · e^-x · (1 - x)  

Gleichung der Tangente im Berührpunkt  B( x_B | f(x_B) )   an den Graph von f:

t:   y =  f '(x_B) · (x - x_B) + f(x_B)

t:   y =  f '(0) · (x - 0) + 0

t:   y = 2·x 

b) 

$$  \lim_{x \to oo} f(x)= 0 \text{ } \text{ }\text{ }; \text{ }  \lim_{x \to -oo} f(x) = - oo $$  denn der Einfluss des e-Terms überwiegt betragsmäßig den jedes Polynoms.

Gruß Wolfgang

Answer 2

  Zu Punklt B) Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   " Die e-Fjnktion unterdrückt jedes Polynom. "

   D.h.  für x ===> ( + °° ) verebbt dein Graf asymptotisch in ( + 0 )  Für x ===> ( - °° ) hast du eine ( negative ) e-Funktion, die also asymptotisch gegen Minus Unendlich geht wie die e-Funktion.

   Die Tangente g ( x ; x0 ) an die Stelle x0 ist immer der lineare Anteil dert Taylorentwicklung

     g  (  x  ;  x0  )  =  f  (  x0  )  +  (  x  -  x0  )  f  '  (  x0  )          (  1a  )

    Stimmt ja auch; denn

         g  (  x0  ;  x0  )  =  f  (  x0  )           (  1b  )

    Bestimmern wir die Ableitung mittels Ketten-und Produktregel

     f  '  (  x  )  =  2  (  1  -  x  )  exp  (  -  x  )         (  2a  )

     x0  =  f  (  x0  )  =  0  ;   f  '  (  0  )  =  2       (  2b  )

     g  (  x  ;  0  )  =  2  x     (  2c  )