Stetigkeit im Mehrdimensionalen: f(x,y):= (x^6 + y^5)/(x^4 + y^4) , falls (x,y)≠(0,0) ; sonst = 0.

Question

wäre folgende Rechnung richtig? 

Ich komme nicht so gut klar mit den Abschätzungen...

Answer 1

Besser vielleicht so: \(\vert f(x,y)\vert=\left\vert\dfrac{x^6+y^5}{x^4+y^4}\right\vert\le\left\vert\dfrac{x^6}{x^4+y^4}\right\vert+\left\vert\dfrac{y^5}{x^4+y^4}\right\vert\le\left\vert\dfrac{x^6}{x^4}\right\vert+\left\vert\dfrac{y^5}{y^4}\right\vert=x^2+\vert y\vert\).

Comments

ist den meine Rechnung falsch?

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Falsch ist  \(\dfrac{y^5}{x^4}\le y^5\).

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verstehe nicht so ganz wie man abschätzt...

kannst du erklären wie man es am besten macht?

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Schätze einerseits \(\dfrac1{x^4+y^4}\le\dfrac1{x^4}\), andererseits \(\dfrac1{x^4+y^4}\le\dfrac1{y^4}\) ab.

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so hast du es aber nicht gemacht oder? 

also erkenne das nicht...

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Nach der Dreiecksungleichung gilt \(\left\vert\dfrac{x^6+y^5}{x^4+y^4}\right\vert=\left\vert\dfrac{x^6}{x^4+y^4}+\dfrac{y^5}{x^4+y^4}\right\vert\le\left\vert\dfrac{x^6}{x^4+y^4}\right\vert+\left\vert\dfrac{y^5}{x^4+y^4}\right\vert\).
Schätze nun die letzten beiden Summanden wie oben beschrieben ab.

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ah jetzt erkenne ich es, danke!