"Wie ist man in der Matrix auf die 4,2,6 2,6,8 6,8,18 gekommen ? " .. nun ich habe Fragen dieser Art befürchtet! Also das ist so:
$$A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2& 6 & 8\\ 6 & 8 & 18 \\ \end{pmatrix} $$ Du solltest Dir mal ganz in Ruhe die Matrizenmultiplikation anschauen. Das ist gar nicht schwer, es ist nur ein Verfahren, wie man größere Mengen von Zahlen organisiert. Z.B. die \(4\) links oben setzt sich zusammen aus dem Skalarprodukt der ersten Spalte von \(A\) mit sich selbst - im Detail:
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 4$$ Die \(8\) in der zweiten Zeile und dritten Spalte folgt aus dem Skalarprodukt der zweiten Spalte (transponiert) und der dritten Spalte von \(A\) - im Detail:
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ 4 \end{pmatrix} &= -1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 2\cdot 4 \\ &= -1 + 0 + 1 + 8 = 8 \end{aligned}$$ usw. so geht das für alle Zahlen des Matrixprodukts \(A^T\cdot A\). Es wird jedes mal eine Spalte von \(A\) transponiert und mit einer weiteren oder derselben multipliziert - je nach Position.
"Und auf 1,0,5,1,1,5?" keine Ahnung woher diese Zahlen kommen, dass müsstest Du besser beantworten können als ich. Du hast sie nämlich oben rechts neben dem \(y\) in die Aufgabenstellung geschrieben - dort steht (rein formal): $$y = (1,0; \, 0,5; \, 1,0; \,1,5 )^T$$
