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Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Messpunkte

x-1.00.01.02.0
y3.01.02.04.0


die Koeffizienten \( a_{0}, a_{1}, a_{2} \) der Ausgleichsparabel \( p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \) mit Hilfe der Normalengleichung für überbestimmte lineare Gleichungssysteme.

Lösen Sie das resultierende Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus.


Problem/Ansatz:

Es gab hier vor kurzem schon mal eine ähnliche Aufgabe, die ich vom Lösungsweg auch verstanden habe, aber den Zusatz: "Lösen Sie das resultierende Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus" verstehe ich nicht.

von

Die Antwort auf deine neue (verschwundene) Frage findest du hier im Kommentar https://www.mathelounge.de/452767/gleichung-aus-drei-satzen-ermitteln-vor-einem-jahr-karl-lisa?show=648046#c648046

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Aloha :)

Im ersten Schritt setzt du die x-Werte in die Parabelgleichung: \(p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\) ein:

$$\begin{array}{l}p(-1) &=& 1\cdot a_0 & -1\cdot a_1 & +1\cdot a_2\\p(0) &=& 1\cdot a_0 & +0\cdot a_1 & +0\cdot a_2\\p(1) &=& 1\cdot a_0 & +1\cdot a_1 & +1\cdot a_2\\p(2) &=& 1\cdot a_0 & +2\cdot a_1 & +4\cdot a_2\end{array}$$Das kannst du als Matrix auf die linke Seite einer Gleichung schreiben. Auf die rechte Seite der Gleichung kommen die gemessenen \(y\)-Werte als Vektor:

$$\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\\4\end{array}\right)$$Du hast hier 4 Gleichungen, aber nur 3 Unbekannte. Das ist ein sog. überbestimmtes Gleichungssystem. Zur Lösung könntest du z.B. die ersten 3 Gleichungen wählen, damit die 3 Unbekannten \(a_0,a_1,a_2\) bestimmen und auf dein Glück hoffen, dass diese 3 Unbekannten dann auch die 4-te Gleichung erfüllen. Du merkst, das wird in der Regel nicht funktionieren. Daher suchst du eine Lösung für die 3 Unbekannten, die alle 4 Gleichungen möglichst gut erfüllen. Dazu sollst du laut Aufgabenstellung die Normalengleichung verwenden. Diese bekommst du, indem du beide Seiten des Gleichungssystems mit der transponierten Koeffizientenmatrix multiplizierst:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & 0 & 1 & 2\\1 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & 0 & 1 & 2\\1 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}3\\1\\2\\4\end{array}\right)$$Beide Seiten kannst du durch Matrixmultiplikation vereinfachen:

$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6\\2 & 6 & 8\\6 & 8 & 18\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\7\\21\end{array}\right)$$Jetzt hast du ein quadratisches Gleichungssystem, dass du mittels elementaren Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus) lösen kannst.

$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2 & 6 & 8 & \;7\\6 & 8 & 18 &\;21\end{array}\right)$$Erstes Ziel ist es, unterhalb der Hauptdiagonalen nur 0en stehen zu haben. Dazu subtrahierst du das 3-fache der Zeile 2 von Zeile 3:

$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2 & 6 & 8 & \;7\\6-6 & 8-18 & 18-24 &\;21-21\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2 & 6 & 8 & \;7\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)$$Dann subtrahierst du die Hälfte der Zeile 1 von Zeile 2:

$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\2-2 & 6-1 & 8-3 & \;7-5\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0 & -10 & -6 &\;0\end{array}\right)$$Jetzt addierst du das Doppelte von Zeile 2 zu Zeile 3:

$$\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0+0 & -10+10 & -6+10 &\;0+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 & 2 & 6 &\;10\\0 & 5 & 5 & \;2\\0 & 0 & 4 &\;4\end{array}\right)$$Jetzt dividierst du Zeile 1 durch 4, Zeile 2 durch 5 und Zeile 3 durch 4, damit auf der Hauptdiagonalen nur noch 1en stehen [Das vereinfacht die folgenden Rechnungen etwas]:

$$\left(\begin{array}{c}4:4 & 2:4 & 6:4 &\;10:4\\0:5 & 5:5 & 5:5 & \;2:5\\0:4 & 0:4 & 4:4 &\;4:4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0,5 & 1,5 &\;2,5\\0 & 1 & 1 & \;0,4\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Unser nächstes Ziel ist es, auch oberhalb der Hauptdiagonalen nur 0en stehen zu haben. Dazu subtrahiere Zeile 3 von Zeile 2:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0,5 & 1,5 &\;2,5\\0 & 1 & 1-1 & \;0,4-1\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0,5 & 1,5 &\;2,5\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Nun subtrahiere die Hälfte der Zeile 2 von Zeile 1:

$$\left(\begin{array}{c}1-0 & 0,5-0,5 & 1,5-0 &\;2,5-(-0,3)\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1,5 &\;2,8\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Im letzten Schritt wird das 1,5-fache der Zeile 3 von Zeile 1 subtrahiert:

$$\left(\begin{array}{c}1-0 & 0-0 & 1,5-1,5 &\;2,8-1,5\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 &\;1,3\\0 & 1 & 0 & \;-0,6\\0 & 0 & 1 &\;1\end{array}\right)$$Daraus kannst du nun die gesuchten Koeffizienten ablesen:

$$a_0=1,3\quad;\quad a_1=-0,6\quad;\quad a_2=1$$$$\Rightarrow\quad p(x)=1,3-0,6x+x^2$$

von 3,6 k

Wao Danke, das erklärt es wirklich ausführlich, das hätte ich nicht erwartet. Wirklich vielen dank.

Ich hatte sie zwischenzeitlich auch mal in einen LGS Onlinerechner reingepackt da waren dann beim Ergebnis die Vorzeichen vertauscht. Siehe anbei: https://lmy.de/YQ7Pk

und wäre es so nicht leichter gewesen (hier stimmt wiederum das Ergebnis mit deinem überein.....? https://lmy.de/Miztw


aber nochmals vielen Danke!

+1 Daumen

Wenn ich das richtig verstanden habe ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$$\left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 4 } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c } { a } \\ { b } \\ { c } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 4 } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { c } { 3 } \\ { 1 } \\ { 2 } \\ { 4 } \end{array} \right]$$

Dann würde die Ausgleichsparabel wie folgt aussehen

~plot~ {-1|3};{0|1};{1|2};{2|4};1.3-0.6x+1x^2;[[-4|4|-1|5]] ~plot~

von 295 k

mmm.... wie kommst du auf die [1,0,1,4]? Also woher nimmst du die dritte Spalt?

Das sind die Quadrate der zweiten spalte. Es geht doch um das Polynom

a*1 + b*x + c*x^2

Also wenn du a, b und c als Koeffizienten hast hast du

[1, x, x^2]

und diese drei Werte stehen halt genau in der Matrix.

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