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Verteilungsfunktion
Um die Verteilungsfunktion von Y zu verstehen, müssen wir zunächst klären, was eine Indikatorfunktion und eine Bernoulli-Verteilung ist.
Die Indikatorfunktion \(1(x < a)\) ist eine Funktion, die den Wert 1 annimmt, wenn \(x < a\) wahr ist, und den Wert 0, wenn \(x \geq a\). Dies bedeutet, dass wir zwei mögliche Ausgänge haben: 1, wenn die Bedingung erfüllt ist, und 0, wenn sie nicht erfüllt ist.
Die Bernoulli-Verteilung \(Be(p)\) ist eine Verteilung mit nur zwei möglichen Ergebnissen, z. B. Erfolg oder Misserfolg, mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p\) für den Erfolg und \(1-p\) für den Misserfolg.
Da \(Y\) als \(Be(p)\) verteilt ist und gleichzeitig die Indikatorfunktion \(1(x < a)\) abbildet, bedeutet dies, dass der "Erfolg" (Y = 1) auftritt, wenn \(x < a\), und der "Misserfolg" (Y = 0) tritt auf, wenn \(x \geq a\). Die Wahrscheinlichkeit \(p\), dass \(Y = 1\), entspricht also der Wahrscheinlichkeit, dass \(x < a\).
Berechnung von \(p\)
Die Wahrscheinlichkeit \(p\) ist direkt die Wahrscheinlichkeit, dass die Bedingung für die Indikatorfunktion erfüllt ist, also \(P(x < a)\). Da ohne weitere Informationen über die Verteilung von \(x\) keine spezifische Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, wäre \(p = P(x < a)\).
Erwartungswert von Y
Der Erwartungswert einer Bernoulli-verteilten Zufallsvariable \(Y\) mit Parameter \(p\) ist einfach \(p\), da der Erwartungswert allgemein als \(E[Y] = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p\) berechnet wird.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Wert von \(p\) der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass eine Beobachtung \(x\) kleiner als \(a\) ist. Der Erwartungswert von \(Y\) ist ebenfalls \(p\), weil \(Y\) eine Bernoulli-Verteilung ist, bei der der Erwartungswert immer gleich der Wahrscheinlichkeit des "Erfolgs" ist.
