r-te Ableitung nach s von ∏(1+s)Ij = r!*Ij1 *...*Ijr und Indikatorfunktion

Question

Ich habe da so eine Frage. Also die r-te Ableitung nach s von ∏(1+s)^I_j = r!*I_j1 *...*I_jr    , wobei das Produkt von j=1 bis 2n geht und 1≤j1<j2<...<jr≤2n . Und Ij ist die Indikatorfunktion, also entweder 1 oder 0. 

Ich habe versucht die Ableitungen zu bilden und festgestellt, dass alle Ableitungen außer der ersten gleich 0 sind, da immer stehenbleibt Ij*(Ij-1)*(Ij-2) usw und das ergibt immer 0, für Ij gleich 1 0der 0.

Also kann nur die erste Ableiung gebildet werden, doch ich kommt nicht was das gewünschte Ergebnis, hoffe ihr könnt mir helfen.      

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösung:

Zu verstehen, wie die r-te Ableitung von $\prod (1+s)^{I_j} = r! * I_{j1} * \ldots * I_{jr}$ funktioniert, erfordert ein gutes Verständnis der Ableitungsregeln und der Eigenschaften der Indikatorfunktion $I_j$.

Zunächst ist wichtig zu klären, was genau $\prod (1+s)^{I_j}$ bedeutet. Dieses Produkt läuft von $j = 1$ bis $2n$, und $I_j$ ist die Indikatorfunktion, die entweder $0$ oder $1$ sein kann. Das bedeutet, dass $(1+s)^{I_j}$ entweder $1$ (für $I_j = 0$) oder $1+s$ (für $I_j = 1$) ist. Angenommen, die Indikatorfunktion wählt bestimmte Teile aus dem Produkt aus, wobei die Auswahlen durch die Indizes $j_1, j_2, \ldots, j_r$ repräsentiert werden.

Für die erste Ableitung ist die Situation wie folgt: Wenn $I_j = 1$, dann ist die Ableitung von $(1+s)^{I_j}$ bezüglich $s$ einfach $I_j$, denn die Ableitung von $1+s$ nach $s$ ist $1$. Wenn $I_j = 0$, dann ist das Element des Produkts konstant $1$, und seine Ableitung ist $0$.

Für höhere Ableitungen $r \geq 2$, ergibt sich ein Problem. Die r-te Ableitung von $(1+s)^{I_j}$, falls $I_j = 1$, ist $0$ für $r \geq 2$, weil die erste Ableitung von $1+s$ $1$ ist und jede weitere Ableitung davon Null wäre.

Warum das so ist: Wenn man die Produktregel auf unser Produkt anwendet, fungiert jede Komponente des Produkts einmal als Funktion, die abgeleitet wird, während die anderen Komponenten konstant bleiben. Da jedoch bei einer Indikatorfunktion, die $1$ ist, diese nur einmal (als $1+s$) vorhanden ist und alle weiteren Ableitungen dieses Terms verschwinden (sie werden $0$ für $r \geq 2$), würde jede höhere Ableitung als die erste tatsächlich $0$ ergeben, wenn man annimmt, dass jeder Term des Produkts mindestens einmal $1+s$ sein muss.

Die Aussage, dass die r-te Ableitung gleich $r! * I_{j1} * \ldots * I_{jr}$ ist, kann zu einem Missverständnis geführt haben, denn diese Formulierung scheint auf die Anwendung der Produktregel in einer Situation hinzuweisen, die über die einfache Produkt- und Kettenregel hinausgeht. Die genaue Interpretation dieser Gleichung hängt davon ab, wie die Indikatorfunktionen genau angewendet und in das Produkt eingesetzt werden.

In einfachen Worten: Die erste Ableitung nach $s$ kann nicht-Null-Werte annehmen, wenn $I_j = 1$ für irgendein $j$ ist, sodass das Produkt $(1+s)^{I_j}$ in seiner Ableitung zu $1$ wird (basierend darauf, wie viele Indikatorfunktionen $1$ sind). Alle höheren Ableitungen, also die zweite, dritte usw., ergeben $0$, weil, sobald $1+s$ einmal abgeleitet wurde, alle weiteren Ableitungen dieses Ausdrucks $0$ sind. Der spezifische Ausdruck $r! * I_{j1} * ... * I_{jr}$ für $r \geq 2$ scheint nicht direkt aus den Ableitungsregeln zu folgen, außer im Kontext spezifischer Anwendungen oder Bedingungen, die hier nicht vollständig erklärt oder missverstanden wurden.