Gleichsetzen von trigonometrischen Funktionen

Question

meine Frage: wie setze ich diese beiden Funktionen gleich?

sin(x)

cos(x) + Wurzel aus 2

habe sin(x) so umgeformt dass es cos(x) entspricht

also sin(x) = cos(π/2-x)

Dann habe ich die beiden Funktionen gleichgesetzt cos(π/2-x) = cos(x) + Wurzel aus 2, doch mein Ergebnis ist nach wie vor falsch

Answer 1

Falls es so gemeint ist:

sin(x)=cos(x) +√2 |(..)^2

sin^2(x) = (cos(x) +√2)^2

sin^2(x) = cos^2(x)  +2√2 cos(x) +2

----------< sin^2(x) +cos^2(x)=1

sin^2(x) =1 -cos^2(x)

----------->

1 -cos^2(x)= cos^2(x)  +2√2 cos(x) +2 | -1 +cos^2(x)

0= 2 cos^2(x) +2√2 cos(x) +1

z= cos(x)

------>

0= 2 z^2 +2√2 z+1 |:2

0=  z^2 +√2 z+1/2  ->PQ- Formel

z_1,2= - √2/2

Resubstitution:

cos(x)= - √2/2

x₁= 2kπ + (3π)/4 , k∈ Z

x₂= 2kπ + (5π)/4 , k∈ Z

Answer 2

SIN(x) = COS(x) + √2

Benutze z.B. Weierstrass t-substitution

2·t/(1 + t^2) = (1 - t^2)/(1 + t^2) + √2

2·t = (1 - t^2) + √2·(1 + t^2)

2·t = t^2·(√2 - 1) + √2 + 1

t^2·(√2 - 1) - 2·t + √2 + 1 = 0

t = √2 + 1

Resubstitution

SIN(x) = 2·(√2 + 1)/(1 + (√2 + 1)^2) = √2/2

x = 1/4·pi ∨ x = 3/4·pi

Comments

Es geht aber noch geschickter, wenn man eine Umformung kennt: