f(x)= |1/2x²-2| könnte mir von euch erläutert werden wie man hier vorgeht ( Ableitung von Betragsfunktion)

Question

ich bräuchte bitte unbedingt Hilfe bei der Aufgabe   f(X)= |1/2x²-2|   ich weiß leider nicht wie man diese ableitet.
wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir hier weiterhelfen könntet und des Weitern würde ich gerne wissen, was man unter kritischen punkten bei der Ableitung von Betragsfunktion versteht.

 

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Wenn du die Skizze von WolframAlpha anschaust:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=++f%28x%29%3D+%7C1%2F2+x²-2%7C+

erkennst du die kritischen Punkte an den Stellen x = ±2.

Dort ist f nicht differenzierbar.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate+%7C1%2F2+x²-2%7C+

zeigt ,dass gilt

f '(x) = x, für x< -2 oder x> 2

und

f'(x) = - x, für -2 < x < 2

Answer 1

Die Ableitung von \(g(x)=|x|\) ist \(g'(x)=\frac{|x|}{x}\). Jetzt man man \(f\) mithilfe der Kettenregel ableiten:

\(f'(x)=\frac{\left|\frac{1}{2}x^2-2\right|}{\frac{1}{2}x^2-2}\cdot x\)

Ich denke mal, kritische Punkte sind die Punkte, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist. Z.B. ist \(g\) an der Stelle \(x_0=0\) nicht differenzierbar.

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Vielen Dank erstmal für die Schnelle Antwort, doch können sie mir bitte noch mal die Ableitung der Funktion Schritt für Schritt bis zum Ende erklären ?

Das wäre sehr hilfreich für mich  

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Die Kettenregel lautet ja "äußere mal innere Ableitung".

Die äußere Funktion ist hier die Betragsfunktion. Wie man die ableitet, steht in meiner ersten Antwort. Also ist die äußere Ableitung \(\frac{\left|\frac{1}{2}x^2-2\right|}{\frac{1}{2}x^2-2}\).

Die innere Ableitung ist die Ableitung von \(\frac{1}{2}x^2-2\), also \(x\).

Wenn man das dann multipliziert, erhält man die gesuchte Ableitung.