Ableitung Betragsfunktion

Question

Kann mir jemand helfen die folgenden Funktionen abzuleiten.

1. f(x) = |x| -> f‘(x) = \( \frac{|x|}{x} \) -> f‘‘(x)=????

2. f(x) = |x|² -> f‘(x)= ??? -> f‘‘(x) = ????

3. f(x) = |x-1|²  -> f‘(x) = ???  ->  f‘‘(x) = ???

Würde mich über eine Antwort freuen

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=|x|=\left\{\begin{array}{r}x&;&x\ge0\\-x&;&x<0\end{array}\right.\;\Rightarrow\;f'(x)=\left\{\begin{array}{r}1&;&x>0\\\mathrm{n.d.}&;&x=0\\-1 &;& x<0\end{array}\right.$$$$\;\Rightarrow\;f''(x)=\left\{\begin{array}{r}0&;&x\ne0\\\mathrm{n.d.} &;&x=0\end{array}\right.$$Beachte, dass die Funktion an der Stelle \(x=0\) nicht differenzierbar ist, weil die rechtsseitige Ableitung \(+1\) und die linksseitige Ableitung \(-1\) beträgt. Für die Ableitung an der Stelle \(x=0\) kann daher keine eindeutige Zuordnung getroffen werden.$$f(x)=|x|^2=x^2\qquad\qquad\;\quad\Rightarrow\quad f'(x)=2x\qquad\;\,\quad\Rightarrow\quad f''(x)=2$$$$f(x)=|x-1|^2=(x-1)^2\quad\Rightarrow\quad f'(x)=2(x-1)\quad\Rightarrow\quad f''(x)=2$$