Das ist reine Akrobatik, aus der du hoffentlich bissele Technik lernst. Einen tieferen Sinn vermag ich dahinter nicht zu erkennen. Wir gehen aus von der Euleridentität
exp ( + i ß ) = cos ( ß ) + i sin ( ß ) | kk ( 1a )
" kk " bedeutet " komplex konjugiert "
exp ( - i ß ) = cos ( ß ) - i sin ( ß ) ( 1b )
Rein formal juristisch stellen ( 1ab ) ein LGS in den beiden Unbekannten Sinus und Kosinus dar; das Subtraktionsverfahren ( 1a ) - ( 1b ) führt auf eine Identität, die du im Bronstein findest:
sin ( ß ) = ( 1 / 2 i ) [ exp ( + i ß ) - exp ( - i ß ) ] ( 2 )
In Teilaufgabe a) hast du glaub ich einen Schreibfehler; da soll " = " stehen und nicht " 0 " Wie sind die Guidelines; dürft ihr keine Original Aufgabenblätter hochladen?
Hier das ist doch ein Regel mäßiges n-Eck; was gibt A_k (n) - A_k-1 (n) ?
A_k ( n ) - A_k-1 ( n ) = exp i k x / n - exp i ( k - 1 ) x / n ( 3a )
Jetzt kommt ein alter Verbrechertrick ins Spiel; als Schüler erfand ich den Witz
" Immer wenn es verschiedene Ansichten gibt, ziehen wir aus allen Meinungen das geometrische Mittel .. "
Genau so hier; das Geomittel der beiden e-Funktionen in ( 3a ) wird
m = exp i ( k - 1/2 ) x / n ( 3b )
| m | = 1 ( 3c )
Wenn du dieses m ausklammerst in ( 3a ) , bleibt übrig
A_k ( n ) - A_k-1 ( n ) = m [ exp ( + i x / 2 n ) - exp ( - i x / 2 n ) ] ( 4a )
Im nächsten Schritt fallen uns gewisse nicht zu bestreitende Ähnlichkeiten auf zwischen der eckigen Klammer in in ( 4a ) einerseits so wie dem Sinusausdruck ( 2 ) andererseits:
A_k ( n ) - A_k-1 ( n ) = 2 i m sin ( x / 2 n ) ( 4b )
| A_k ( n ) - A_k-1 ( n ) | = 2 | sin ( x / 2 n ) | ( 4c )
Der Faktor n aus dem Aufgabenblatt, der uns noch fehlt, spiegelt die Anzahl Summanden wieder.
Machen wir gleich die c) ; die anschauliche Interpretation; Im Falle x = 2 Pi gibt dir L ( n ) den Umfang des Regel mäßigen n-Ecks; für x < 2 Pi ist das ja nur ein unvollendetes Gebilde, das einen Winkel von x überspannt.
Und jetzt die b); gesucht der Grenzwert
lim 2 n | sin ( x / 2 n ) | ( 5a )
n ===> ( °° )
Jetzt kommt etwas typisch Matematisches; eine Fallunterscheidung. ( Mit dem Mathe Studienabschluss hast du nur die aller besten Berufsaussichten - nicht weil du irgendwelche Beweise drauf hast, sondern weil du FALLUNTERSCHEIDUNG kannst. Kam im Telekolleg; mein Chef hat das übrigens auch gesagt. )
Fall 1; x = 0 Wir haben eine Nullfolge; trivial . ( Die Figur ist ausgeartet. )
Fall 2 ; x > 0 ( Entgegen dem Aufgabentext scheint mir der Fall x < 0 nicht Sinn voll. Es ist wirklich nur die ===> Orientierung einer orientierbaren ===> Mannigfaltigkeit )
Hier hilft ein Zaubertrick weiter, der mich schon aus ganz anderen Kalamitäten gerettet hat; die ===> Inversion
z := 1 / n ( 5b )
F ( n ) := 2 n | sin ( x / 2 n ) | = ( 5c )
= F ( z ) = ( 2 / z ) sin ( x z / 2 ) ( 5d )
z geht ja jetzt gegen Null. Da das Argument von Sinus positiv ( und klein ) ist, ist der Sinus gleich seinem Betrag, also Plus. Was in ( 5d ) steht, ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) der Funktion
f ( z ) := 2 sin ( x z / 2 ) ( 6a )
genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend, weil der Sinus von z = 0 verschwindet. Und der Grenzwert von ( 5d ) ist offensichtlich die Ableitung f ' ( 0 )
f ' ( z ) = ( 2 x / 2 ) cos ( x z / 2 ) ( 6b )
f ' ( 0 ) = x ( 6c )
formal mag man einwenden, dass die Betragsfunktion gerade bei z = 0 nicht differenzierbar ist; wenn jedoch n gegen ( + °° ) geht, müssen wir auch verlangen z ===> ( + 0 ) - wir bilden gewisser Maßen nur die rechtsseitige Ableitung.
Ja für n ===> ( °° ) geht das n-Eck natürlich gegen den Kreis; die Interpretation war ja für x = 2 Pi zu geben. Und der Kreisumfang beträgt dann x = 2 Pi.
Hier wer kennt noch diese Szene aus der Sesamstraße, wo Ernie wie üblich seinen Kumpel Bert am einschlafen hindert
" I wonder whether a circle has got zero corners or very very many ... "
Ein Kommentator tat mal sehr empört
" Sag mal; wozu lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn man so Grenzwerte durch transformation des Definitionsbereichs lösen kann? "
