Bakterienzahl wird durch f mit f(x) = e^{0,1x} beschrieben

Question

Die Bakterienanzahl (in Millionen) in einer Bakterienkultur wird modellhaft durch f mit f (x) = e^{0,1x} (x: Anzahl der Tage seit Beobachtungsbeginn) beschrieben.

a) wie viele bakterien waren zu beobachtungsbeginn vorhanden?

b) berechne die bakterienzahl nach 10 tagen.

c) wann werden es vier millionen bakterien sein? wann hat sich die anzahl verdoppelt?

d) wann hat der bakterienbestand seit beobachtungsbeginn um fünf Millionen zugenommen?

Answer 1

a) Zu Beginn war x=0, also betrug die Bakterienzahl N (x=0) zu Beginn:

N(0)  = f ( 0 ) = e ^{0,1 * 0} = e ⁰ = 1

Zu Beginn waren es also 1 Million Bakterien.

b) N ( 10 ) = e ^{0,1 * 10} = e ¹ = 2,718 

Nach zehn Tagen waren es also 2,718 Millionen Bakterien

c) Wenn der Bestand um 5 Millionen zugenommen hat, dann sind es also insgesamt 6 Millionen Bakterien, also:

f ( x ) = e ^{0,1 * x}  = 6

<=> 0,1 x = ln ( 6 )

<=> x = ln ( 6 ) /0,1 = 17,9

Also: Nach 17,9 Tagen hat die Bakterienzahl um 5 Millionen auf dann 6 Millionen zugenommen.