Lösbarkeit eines LGS

Question

ich habe leider für a) eine Lösungsmenge zugeschickt bekommen, die ich nicht wirklich nachvollziehen kann.

Diese lautet:

x3= (6-2t)/(9+3t-2t^2), gekürzt 1/(3/2+t)

x2=5/(2t+3)

x1=-7/(4t+6)

könnte mir jemand mit Rechenweg bitte die Lösungen erläutern?

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Bitte Text als Text eingeben. Das ist doch nicht deine erste Frage. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

Berechne die Determinante des Gleichungssystems bzw. führe den Gaußalgorithmus durch oder berechne die inverse Matrix.

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hab ich schon versucht, komme trotzdessen nicht auf das selbe Ergebnis. finde auch leider meinen Fehler nicht

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Ja dann stell mal Deine Rechnung ein. Die Lösung ist auf jeden Fall richtg.

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x1 habe ist ausgelassen, weil mein x2 schon falsch war

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Ich meinte den ganzen Rechenweg.

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kannst die Matrizenmultipliaktionsschreibweise auch ignorieren.

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Soweit alles richtig. Der Ausdruck \( 9+3t-2t^2 \) hat die Nullstellen \( t_1 = 3 \) und \( t_2 = -\frac{3}{2} \) also gilt

$$  9+3t-2t^2 = \left(t+\frac{3}{2} \right) ( t - 3 ) $$ und das Gleichungssystem sieht jetzt folgendermaßen aus

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & t-1 \\ 0 & 0 & -2\left(t+\frac{3}{2} \right) ( t - 3 ) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2(t-3) \end{pmatrix} $$
Für \( t \notin \left\{ 3, -\frac{3}{2} \right\} \) folgen die Lösungen die Du schon hast.

Für \( t = 3 \) erhält man unendlich viele Lösungen.

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Für \(t=-\frac32\) gibt's keine Lösung.

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Ist korrekt, habe ich korrigiert, danke.

Answer 2

Hallo nury,

⎡    2     1   1   0 ⎤
⎢    2     2   t    1 ⎥
⎣  - 2t    t   9    6 ⎦

⎡ 2    1        1      0 ⎤
⎢ 0    1        t-1    1 ⎥ Z2 - Z1
⎣ 0   2t       t+9    6 ⎦ Z3 + t * Z1

⎡ 2   1             1               0   ⎤
⎢ 0   1           t-1              1    ⎥
⎣ 0   0    -2·t²+3t+9       6-2t ⎦ Z3 - 2t * Z2

-2t² + 3t + 9  = 0  ⇔ t = 3 oder t = -3/2

-2t² + 3t + 9  = (6 - 2t)·(t + 3/2) = 1/2·(6-2t)·(2t+3)

Für t ∉ {-3/2 ; 3}  hat das LGS  genau eine Lösung:

   x₃ = 2 / (2t + 3)  ;  x₂ =  5 / (2t + 3)  ;  x₁ = 7 / (4t + 6)

Für t = -3/2 hat das LGS  keine Lösung

Für t = 3  hat das LGS  unendlich viele Lösungen:

⎡ 2  1  1  0 ⎤
⎢ 0  1  2  1 ⎥
⎣ 0  0  0  0 ⎦

x₃ = c  beliebig ,  x₂ = 1 - 2c  ,   x₁ = 1/2 ·( -1 + 2c - c)  = 1/2 · ( c - 1) 

Gruß Wolfgang

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Der erste Eintrag der dritten Zeile der Koeffizientenmatrix ist nicht -2, sondern -2t.

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Danke für den Hinweis, habe die Antwort korrigiert.

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danke schön für die ausführliche Antwort, Wolfgang.