Hallo Phu24,
ich ersetzte nirgends \(1/x\) durch \(x\). Das wäre auch verkehrt. Dass $$f(x) = \frac{1}{x}$$ ist und $$f(x_0) = \frac{1}{x_0}$$ sollte klar sein. Aber noch mal ganz langsam - und nur der Term hinter dem Limes:
$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0}= \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}}{x-x_0} = \dots$$ ich erweitere \(1/x\) mit \(x_0\) und \(1/x_0\) mit \(x\), so dass beide Brüche den gleichen Nenner (den Hauptnenner) haben
$$\space = \frac{\frac{x_0}{x \cdot x_0} - \frac{x}{x \cdot x_0}}{x-x_0}$$
dann kann ich beide Brüche im Zähler zu einem zusammen fassen:
$$\space = \frac{\frac{x_0 -x}{x \cdot x_0}}{x-x_0}$$
Jetzt den ganzen Bruch mit \(x \cdot x_0\) erweitern. Im Zähler kürzt sich der dann weg
$$\space = \frac{\frac{x_0 -x}{x \cdot x_0} \cdot x \cdot x_0}{(x-x_0) \cdot x \cdot x_0} = \frac{x_0 -x}{(x-x_0) \cdot x \cdot x_0}$$
jetzt im Zähler das Minuszeichen vorziehen, damit in Zähler und Nenner der gleiche Term \((x-x_0)\) steht. Und anschließend diesen Term kürzen
$$\space = \frac{-(x -x_0)}{(x-x_0) \cdot x \cdot x_0} = \frac{-1}{x \cdot x_0}$$
Und im letzten Schritt kann man nun \(x\) durch \(x_0\) ersetzen, wie es im Limes angezeigt wird. Und dies ist jetzt möglich, da dann keine undefinierten Terme wie \(0/0\) mehr entstehen:
$$\lim_{x \to x_0} \frac{-1}{x \cdot x_0} = \frac{-1}{x_0 \cdot x_0} = \frac{-1}{x_0^2}$$ Gruß Werner
