das Problem mit dieser Aufgabe ist, dass sie keine eindeutige - bzw. unendlich viele - Lösung(en) hat. Nur zur Illustration folgender Plot:
~plot~ 3sin(4x);{pi|0};5.835 sin((5-1/8)x);{3pi/8|-3};[[-1|4|-7|+7]] ~plot~
dort siehst Du einen blauen und einen roten Graphen, deren Funktionen beide die oben genannte Eigenschaft besitzen. Beide haben genau 5 Nullstellen im Intervall \([0 \dots \pi]\) und beide gehen durch den Punkt \((3\pi/8|-3)\).
Es sei denn die Aussage
Gesucht ist die kleinste Periode ...
ist so gemeint, dass die Funktion mit der kleinstmöglichen Periode gesucht ist, die obige Bedingungen erfüllt. Dann wird es aber auch nicht einfacher, denn dann benötigen wir eine relle Zahl \(\epsilon > 0\), mit der Eigenschaft, dass keine weitere Zahl existiert, die zwischen ihr und der 0 liegt. Aber das ist kein Stoff für die Realschule!
Grundsätzlich kannst Du so vorgehen, dass Du die Funktion
$$y = 1 \cdot \sin(1 \cdot x)$$
als Basis nimmst. Diese Funktion hat genau zwei Nullstellen im Intervall \([0 \dots \pi]\). Wenn Du den Faktor (oben \(b=1\)) jeweils um 1 erhöhst, so kommt immer genau eine Nullstelle im Intervall hinzu. D.h. mit \(b=4\) hast Du drei Nullstellen mehr - also 5 Nullstellen. Das ist die blaue Funktion oben im Plot. Das gilt natürlich auch für jedes \(b<5\) - also \(b \in [4 \dots 5)\) bzw. \( 4 \le b \lt 5\). Mit dem gefundenen \(b\) un der Bedingung \(y(3\pi/8)=-3\) rechnest Du \(a\) aus:
$$y(\frac38 \pi)=a \cdot \sin(4x)=-3 \quad \Rightarrow a = \frac{-3}{\sin(4\cdot \frac38 \pi)} = 3$$ Demnach wäre eine Lösung
$$y = 3 \sin(4x)$$
... und die kleinste Periode ist \(\frac12 \pi\).
